（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第四讲 方程(组)及其应用（原卷版+解析版）

这是一份（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第四讲 方程(组)及其应用（原卷版+解析版），文件包含全国通用2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练第四讲方程组及其应用解析版doc、全国通用2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练第四讲方程组及其应用原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。

第四讲方程(组)及其应用
考点一、一元一次方程
1.等式性质
（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式.
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式.
2.方程的概念
（1）含有未知数的等式叫做方程.
（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).
（3）求方程的解的过程，叫做解方程.
3.一元一次方程
（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.
（2）一元一次方程的一般形式:.
（3）解一元一次方程的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来).
【微点拨】
解一元一次方程的一般步骤
步骤
名 称
方 法
依 据
注 意 事 项
1
去分母
在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）
等式性质2
1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.
2
去括号
去括号法则（可先分配再去括号）
乘法分配律
注意正确的去掉括号前带负数的括号
3
移项
把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）
等式性质1
移项一定要改变符号
4
合并 同类项
分别将未知项的系数相加、常数项相加
1、整式的加减；
2、有理数的加法法则
单独的一个未知数的系数为“±1”
5
系数化为“1”
在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数）
等式性质2
不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）
*6
检根
x=a
方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果.
①　若 左边＝右边，则x=a是方程的解；
②　若 左边≠右边，则x=a不是方程的解.
注：当题目要求时，此步骤必须表达出来.
说明：
（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；
（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；
（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.
考点二、二元一次方程组
1. 二元一次方程组的定义
两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
【微点拨】
判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组．
2.二元一次方程组的一般形式

【微点拨】
a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0，a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0.
3. 二元一次方程组的解法
(1) 代入消元法；
(2) 加减消元法.
【微点拨】
（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．
（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：
当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.
考点三、一次方程（组）的应用
列方程(组)解应用题的一般步骤：
1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；
2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；
3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；
4.解:解所列的方程(组)；
5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；
6.答:注意单位和语言完整.
【微点拨】
列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.
考点四、一元二次方程
1.一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
它的一般形式为(a≠0)．
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．
（2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．
（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．
（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．
【微点拨】
直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．
易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.
（3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.
3．一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式为．
△>0方程有两个不相等的实数根；
△＝0方程有两个相等的实数根；
△<0方程没有实数根．
上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．
【微点拨】
△≥0方程有实数根.
4．一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．
【微点拨】
（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
（2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．
（3）一元二次方程(a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．
（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
考点五、分式方程
1.分式方程的定义
分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．
【微点拨】
（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.
　　（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.
2.分式方程的解法
去分母法，换元法．
3.解分式方程的一般步骤
　　　(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
　　　(2)解这个整式方程；
　　　(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.
口诀：“一化二解三检验”.
【微点拨】
解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．
增根的产生的原因：
　　对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.
考点六、一元二次方程、分式方程的应用
1．应用问题中常用的数量关系及题型
(1)数字问题(包括日历中的数字规律)
关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．
(2)体积变化问题
关键是寻找其中的不变量作为等量关系.
(3)打折销售问题
其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%．
明确这几个关系式是解决这类问题的关键．
(4)关于两个或多个未知量的问题
重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.
(5)行程问题
对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．
注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.
(6)和、差、倍、分问题
增长量＝原有量×增长率；
现有量＝原有量+增长量；
现有量＝原有量-降低量．
2．解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)找出相等关系，并用它列出方程；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
【微点拨】
方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．
注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．
命题点1一次方程(组)及其解法
类型一一次方程的解法及其解的应用
1.如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为( ).
A.2 B.4 C.3 D.1
【点拨】未知数x的指数是1即可.
【答案】B；
【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4.
【总结】根据一元一次方程的定义求解.
2.已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树.设男生有x人，则 （ ）
A.2x+3(72-x)=30 B.3x+2(72-x)=30 C.2x+3(30-x)=72 D.3x+2(30-x)=72
【答案】D
【解析】设男生有x人，则女生（30-x）人，根据题意可得：3x+2（30-x）=72．故选D．
3.母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】 B
【解析】 设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案．
设可以购买x支康乃馨，y支百合，依题意，得：2x+3y＝30，∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，∴，，，，∴小明有4种购买方案．
故选：B．
4.由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（ ）
A．230元 B．250 元 C．270 元 D．300 元
【答案】D，
【解析】本题考查一元一次方程的应用．
解：设该商品的原售价为x元，根据题意，得＋25＝－20．解得x＝300．所以该商品的原售价为300元，故选D.
5.某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：
表（二）
类别
成本价（元/箱）
销售价（元/箱）
甲
25
35
乙
35
48

求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
【答案】解：（1）设购进甲种矿泉水x箱，则乙种矿泉水（500－x）箱，
根据题意得
解得 ∴
答：购进甲种矿泉水300箱，则乙种矿泉水200箱．
（2）（元）
答：商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元
6.第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：

（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
【答案】解：（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100﹣x）支，根据题意，得：6x+10（100﹣x）＝1300﹣378，解得x＝19.5，
因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；
（2）设笔记本的单价为a元，根据题意，得：6x+10（100﹣x）+a＝1300﹣378，
整理，得：x，因为0＜a＜10，x随a的增大而增大，所以19.5＜x＜22，
∵x取整数，∴x＝20，21．当x＝20时，a＝4×20﹣78＝2；当a＝21时，a＝4×21﹣78＝6，
所以笔记本的单价可能是2元或6元．

类型二一次方程组的解法及其解的应用
7.用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（ ）
A． ①×2–② B．②×(﹣3)–① C． ①×(﹣2)＋② D．①–②×3
【答案】D
【解析】本题考查了二元一次方程组的解法——加减消元法，能用加减消元法解方程组的的条件是相同未知数的系数相同或相反.选项D中不能消去其中的任何一个未知数，因此本题选D．
8.已知关于x,y的二元一次方程组的解是,则a+b的值是( )
A.1 B.2 C.－1 D.0
【答案】B
【解析】将代入方程组,得:,解之,得:,所以a+b＝2,故选B.
9.二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【解析】，②－①得x＝1，将x＝1代入①得，y＝5，∴方程组的解为．
10.若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A. 3 B．3，-3 C． D．，-
【答案】C
【解析】把代入二元一次方程组得，解方程组可得x，y的值，然后可得x+2y的算术平方根.
①+②得：5x＝7，解得x＝， 把x＝代入②得：y＝，则x+2y＝3，3的算术平方根为，故选C.
11.“十·一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现已准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意，得( )
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】由“两种客车共10辆”可列方程x＋y＝10．由“466名八年级学生、49座和37座、刚好坐满”可列方程49x＋37y＝466．故选A．
12.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意找出相等关系式，可得方程组，故本题选：A．
13.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.
∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，∴5x+y=3，
∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，∴x+5y=2，
∴得到方程组，故选：A.
命题点2一次方程(组)的实际应用
类型一购买、销售问题
14.由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（ ）
A．230元 B．250 元 C．270 元 D．300 元
【答案】D，
【解析】本题考查一元一次方程的应用．
解：设该商品的原售价为x元，根据题意，得＋25＝－20．解得x＝300．所以该商品的原售价为300元，故选D.
15.为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式，某农户有农田20亩，去年开始实施“虾·稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润=售价一成本).由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元.
(1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；
(2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为2.5元/千克，该农户估计今年可获得“虾·稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？
【答案】解：(1)设去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克x元、y元，由题意得
，解得.
答：去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克8元、40元.
(2)设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意得
20×100×30+20×25z-20×600≥8000，
解得；z≥640.
答：稻谷的亩产量至少会达到640千克.
类型二分配问题
16.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个，或盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有280张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？
【点拨】设用x张做盒身，则用（280﹣x）张做盒底，根据题意可知题目中的等量关系：制盒身铁皮的张数×每张铁皮可制盒身的个数×2=制盒底铁皮的张数×每张铁皮可制盒底的个数，据此解答．
【解析】
解：设用x张制盒身，则用（280﹣x）张制盒底，由题意得：
2×15x=40（280﹣x），
解得：x=160，
280﹣x=120．
答：用160张制盒身，120张制盒底．
【总结】此题关键是找出题目中列等量关系式的语言：一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．

类型三工程何题
17.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?
【答案】
解：设再过x小时可把水注满．由题意得：

解得：．
答：打开丙管后小时可把水放满．
【总结】相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．
类型四行程问题
18.盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时．已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B两地间的距离．
【思路】由于C的位置不确定，要分类讨论：（1）C地在A、B之间；（2）C地在A地上游．
【答案】
解：设A、B两地间的距离为x千米．
(1)当C地在A、B两地之间时，依题意得．

解这个方程得：x＝20
(2)当C地在A地上游时，依题意得：

解这个方程得：
答：A、B两地间的距离为20千米或千米．

【总结】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线段示意图”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．
19.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.
【点拨】本题中的等量关系为：50×（规定时间+）＝两地距离，
75×（规定时间－）＝两地距离．通过解方程组即可得出两地间距离．
【答案】
解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为y千米. 则由题意可得：






解得：


答：甲乙两地间的距离为140千米.
【总结】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．
类型五阶梯费用问题
20.为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．例如：方女士家5月份用电500度，电费=180×0.6+220×二档电价+100×三档电价=352元；李先生家5月份用电460度，交费316元，请问表中二档电价、三档电价各是多少？
阶梯
电量
电价
一档
0﹣180度
0.6元/度
二档
181﹣400度
二档电价
三档
401度及以上
三档电价
【答案】解：设二档电价是x元/度、三档电价是y元/度，
根据题意得，
，
解得，
答：二档电价是0.7元/度、三档电价是0.9元/度．
【总结】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确列出方程组．
类型六比赛积分同题
21.现有面值为2元、1元和5角的纸币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种面值各多少张？
【点拨】此题有三个未知数：面值分别为2元、1元、5角的纸币的张数，相等关系：
（1）面值为2元、1元和5角的纸币共24张；
（2）24张纸币的币值共计29元；
（3）面值为2元的比1元的少6张.
【答案】
解：设面值为2元、1元和5角的纸币分别为张、张和.
依题意，得
把③分别代入①和②，得
⑤×2，得
，得，.
把代入③，得.
把代入①，得.
所以方程组的解是
答：面值为2元、1元和5角的纸币分别为7张、13张和4张.
【总结】列方程时，单位要统一，如本题中的5角要化为元.

命题点3分式方程及其解法
类型一分式方程的解法
22.a何值时,关于x的方程会产生增根?
【答案】
方程两边都乘以,得
整理得.
当a = 1 时,方程无解.
当时,.
如果方程有增根,那么,即或.
当时,,所以;
当时,,所以a = 6 .
所以当或a = 6原方程会产生增根.
【总结】 因为所给方程的增根只能是或，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.

类型二分式方程解的应用
23.若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是( )
A．7 B．-14 C．28 D．-56
【答案】A【解析】 对于不等式组 ，解不等式①，得x≤7.解不等式②，得x≤a.因为不等式组的解集为x≤a，∴a≤7.对于分式方程，去分母，得y-a+3y-4=y-2,解这个整式方程，得y=.因为a≤7，所以当a=1,4,7时为正整数.当a=4时， y=2是分式方程的增根，分式方程无解.综上，可得a=1或7，它们的积为1×7=7.
24.若关于x的分式方程有增根，则_________．
【答案】3【解析】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值． ，解得.又∵关于的分式方程有增根，即，∴，，解得：，

命题点4分式方程的实际应用
类型一工程问题
25.甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
【答案】
（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：

解得x＝80，
经检验x＝80是原分式方程的解．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得

解得：y≥25
答：甲至少整理25分钟完工．
【总结】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；
（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．
类型二生产问题
26.随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查了分式方程应用，根据题意可知生产时间＝数量÷效率，而且生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，所以，因此本题选B．


类型三行程问题
27.近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线B的平均速度．
【解析】本题考查了分式方程的应用，可直接设速度，用时间关系来列方程，也可以设时间，用速度关系来列方程，切记解分式方程一定要检验．
【答案】解：设A路线的平均速度为x，则B路线的平均速度为(1＋50%)x．

解得：x＝50．
经检验，x＝50是原方程的根．
50×(1＋50%)＝75（km/h）
答：路线B的平均速度为75km/h．
类型四购买、销售问题
28.某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫,数量是3月份的2倍,但每件进价涨了10元
(1)4月份进了这批T恤衫多少件?
(2)4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售,每件标价180元.甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出;乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出,结果利润与甲店相同.
①用含a的代数式表示b.
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值.
【解析】本题考查了列分式方程解应用题．（1）设3月份进了x件T恤衫，则4月份进了2x件T恤衫，则三月份的单价为元，四月份的单价为元，根据每件进价涨了10元列出方程＝10。求得x＝150；
（2）①由题意知：
按标价出售每件利润为180－130－50元，按标价九折每件利润为180×0.9－130＝32元，
按标价八折每件利润为180×0.8－130＝14元，按标价七折每件利润为180×0.7－130＝－4元.
根据甲、乙两店获得的利润相同，得50a＋14（150－a）＝50a＋32b－4（150－a－b），整理得：b＝.
②乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量得到：≥a，解得a≤50. 乙店利润为50a＋14（150－a）＝2100＋36a.乙店利润随着a的增大而增大，故当a＝50时，利润最大：最大值为3900元.

【答案】解： （1）设3月份进了x件T恤衫，则4月份进了2x件T恤衫，根据题意，
得＝10，解得x＝150.经检验，x＝150是所列方程的根，且符合题意。∴2x＝300.
答：4月份进了300件T恤衫。
（2）①按标价出售每件利润为（180－130－50）元，按标价九折每件利润为180×0.9－130＝32元，
按标价八折每件利润为180×0.8－130＝14元，按标价七折每件利润为180×0.7－130＝－4元.
由题意得50a＋14（150－a）＝50a＋32b－4（150－a－b），
∴a,b的关系式为a＋2b＝150,∴b＝
②由题意得b≥a，∴≥a，解得a≤50.∵乙店利润与甲店相同，
∴乙店利润为50a＋14（150－a）＝2100＋36a.∵a≤50，且36＞0，∴最大利润为2100+36×50＝3900（元）.
答：乙店利润的最大值为3900元.

命题点5一元二次方程及其解法
类型一解一元二次方程
29.阅读材料：
为解方程，我们可以将 看作一个整体，然后设，
那么原方程可化为……①，
解得，，
当时，，，；
当时，，，，故原方程的解为，
，，．
解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程．
【点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想．
【答案】
（1）换元法；
（2）设，那么原方程可化为
解得；
当时，；
当时，不符合题意，舍去．
所以原方程的解为，．
【总结】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想.
命题点6一元二次方程根的判别式
类型一已知方程判断根的情况
30.一元二次方程根的判别式的值为______．
【答案】13
【解析】∵a=1，b=3，c=-1，∴△=b2-4ac=9+4=13．∴一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为13．
故答案为：13．
类型二根据方程根的情况求字母的取值(范围)
31.已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【点拨】
（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【答案】
解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
【总结】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．

命题点7一元二次方程根与系数的关系
32.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
【点拨】 （1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22=﹣2x1•x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
【答案】
解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜．
∴m的取值范围为m＜．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，
∴x12+x22=﹣2x1•x2=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1．
【总结】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．
命题点8一元二次方程的实际应用
类型一变化率问题
33.资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内地方面积.
材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）.去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m=3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点.
问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；
（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比.
【解析】（1）通过设未知数找等量关系：公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为等列出方程，最后求解即可．（答案不唯一）
（2）设B公司每半年每平方千来产生的经济收益为则A公司为1.5．去年下半年A，B公司产生的总经济收益为
今年上半年A，B公司产生的总经济收益比去年下半年增加了x个百分点为(1 +4x% )．设增加的百分点为x%，找等量关系：公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点，列出方程求解即可．
【答案】解：（1）问题1:求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比
解答：3
问题2:A公司营销区城面积比B公司营销区域的面积多多少?
解答:
问题3:求去年下半年公共营销区域面积与两个公司总营销区域面积的
解答：
（2）

100(%)2+45%13=0解得%=20%，%= 65%(舍去)
设B公司每半年每平方千来产生的经济收益为则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5
今年上半年A，B公司产生的总经济收益为(1 +420% )=7.2
去年下半年A，B公司产生的总经济收益为
去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为
类型二传播、分裂问题
34.2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）
时间x（分钟）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9～15
人数y（人）
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【答案】解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，
①当0≤x≤9时，y是x的二次函数，∵当x＝0时，y＝0，∴二次函数的关系式可设为：y＝ax2+bx，由题意可得：，解得：，
∴二次函数关系式为：y＝﹣10x2+180x，
②当9＜x≤15时，y＝180，
∴y与x之间的函数关系式为：y；
（2）设第x分钟时的排队人数为w人，
由题意可得：w＝y﹣40x，
①当0≤x≤9时，w＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，∴当x＝7时，w的最大值＝490，
②当9＜x≤15时，w＝810﹣40x，w随x的增大而减小，∴210≤w＜450，∴排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x＝0，解得：x＝20.25，
答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由题意得：12×20（m+2）≥810，
解得m，∵m是整数，∴m的最小整数是2，∴一开始就应该至少增加2个检测点．
类型三图形面积问题
35.某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．
【答案】解：设扩充后广场的长为3x m，宽为2x m，
依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000
解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．
所以3x＝90，2x＝60，
答：扩充后广场的长为90 m，宽为60 m．
【知识点】一元二次方程的应用
类型四每每问题
37.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元．
【答案】
解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，
由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，
化简得：x2﹣35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
答:每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元.
38.某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90 000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提高大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求的值．
【解析】（1）根据“50平方米的物管费＋80平方米的物管费＝90000元”，列一元一次方程即可解答；（2）根据5、6两月参加两种活动的户数及减少的每平米的物管费，可列表如下：
6月份参加活动二的户数及缴物管费统计表

户数
每户实缴物管
50m2
500×40%×(1＋2a%)
100(1－a%)
80m2
250×20%×(1＋6a%)
160(1－a%)
再根据“参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少”列一元二次方程即可解答．
解：（1）设80平方米的住宅有x套，则50平方米的住宅有2x套，根据题意，得
2x•100＋160x＝90000，解得x＝250．
答：80平方米的住宅有250套．
（2）根据题意，得200(1＋2a%)•100(1－a%)＋50(1＋6a%)•160(1－a%)＝
[200(1＋2a%)•100＋50(1＋6a%)•160]•(1－a%)
令m＝a%，原方程可化为20000(1＋2m)(1－0.3m)＋8000(1＋6m)(1－m)＝
[20000(1＋2m)＋8000(1＋6m)]( (1－m)，
整理，得m2－m＝0，解得m1＝0.5，m2＝0（不合题意，舍去）．
∴a%＝50%，故a的值为50．

其他类型
39.已知，是一元二次方程的两个实数根.
（1） 求k的取值范围；
（2） 是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）根据一元二次方程的两个实数根得到△=（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，解关于k的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得出含有k的式子，将等式变形后代入，解答关于k的方程，注意舍去不符合题意的值．
【答案】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，
解得：k≤﹣1．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．
∵+＝k﹣2，
∴＝＝k﹣2，
∴k2﹣6＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝．
又∵k≤﹣1，
∴k＝﹣．
∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2，成立，k值为﹣．