专题9.1正弦定理与余弦定理（A卷基础篇）-2021-2022学年高一数学必修第四册同步单元AB卷（新教材人教B版）

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第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·平罗中学高二月考）在中，，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有两解B．有一解C．无解D．有无数个解
【答案】C
【解析】
通过作圆法可确定三角形解的情况.
【详解】
作垂直于所在直线，垂足为，则，
以为圆心，为半径作圆，可知与无交点，故三角形无解.
故选：C.
2．（2021·河南许昌市·高二期末（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A等于（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【解析】
由正弦定理化简得，即可求解.
【详解】
因为，由正弦定理可得，
又因为，可得，所以，
又由，所以或.
故选：D.
3．（2021·湖南郴州市·高二期末）在中，角的对边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】
可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0.
【详解】
因为，由余弦定理得，
即，，
或（舍.
故选：D.
4．（2021·浙江高三学业考试）在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【解析】
根据，利用正弦定理得到求解.
【详解】
因为在中，，
所以
因为，
所以，
因为则,
或
故选：D
5．（2021·北京顺义区·高三期末）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
利用余弦定理可求得、的值，可求得的值，由此可求得的值.
【详解】
在中，，，，
由余弦定理可得，解得，则，所以，，
因此，.
故选：D.
6．（2020·平罗中学高二月考）已知中，，，，则其面积等于（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】C
【解析】
利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】
在中，由余弦定理得：，
解得：或，
当时，；
当时，；
综上所述：的面积为或.
故选：C.
7．（2020·福建泉州市·高二期中）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求
【详解】
设，
，
.
故选：C.
8．（2020·河南高二月考（理））设的内角，，所对边的长分别为，，.若，，则角（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由正弦定理得出边之间的关系，再由余弦定理求得，由角的范围可得选项.
【详解】
根据正弦定理，由，得，又，所以令，，，.
由余弦定理可得，又故，所以.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．（2021·浙江高一期末）在中，角、、所对的边分别是，，，若，，若满足条件的唯一确定，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】
根据唯一确定，得到或，求解即可得到的可能值.
【详解】
解：若满足唯一确定，
则或，
故选：BD.
10．（2020·河北张家口市·高三月考）在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（ ）
A．，，则的外接圆半径是4
B．若，则
C．若，则一定是钝角三角形
D．若，则
【答案】BC
【解析】
根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D.
【详解】
由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；
由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；
因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；
若，显然，故D错误.
故选：BC
11．（2020·湖南长沙市·高三月考）在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．存在满足
C．若，则为钝角三角形
D．若，则
【答案】ACD
【解析】
A项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；
B项，由和余弦函数在递减可判断；
C项，显然，分和两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；
D项，根据和正弦函数的单调性得出和，再由放缩法可判断.
解：对于A选项，若，则，则，即，故A选项正确；
对于B选项，由，则，且，在上递减，于是，即，故B选项错误﹔
对于C选项，由，得，在上递减，
此时：若，则，则，于是；
若，则，则，
于是，故C选项正确；
对于D选项，由，则，则，在递增，于是， 即，同理，
此时，
所以D选项正确.
故选：ACD
12．（2020·四川高三月考）在中，角，，的对边分别为，，，则下列各组条件中使得有唯一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】AD
【解析】
A.由余弦定理,得唯一的，故唯一确定；
B.由，得，角B不唯一；
C.，角B不唯一；
D.且，故为锐角有唯一解，从而唯一确定；
故选：AD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2021·北京高三期末）在△中，若，，，则____.
【答案】
【解析】
由余弦定理可知
即
故答案为：
14．（2020·上海浦东新区·高三一模）在中，若，，，则_________.
【答案】
【解析】
，
由正弦定理得，所以.
故答案为：．
15．（2020·辽宁高三期中）在中，，，，则边上的高的长度为________.
【答案】
【解析】
在中，，，，所以，
由余弦定理可得：，
所以边上的高为：.
故答案为：.
16．（2020·浙江杭州市·高一期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则________，________．
【答案】
【解析】
在中，，
则，即，
解得或（舍去）.
由正弦定理，
解得，，
所以.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2020·首都师范大学附属桂林实验中学高二期中（文））在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，.
（1）求；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由余弦定理即可求得的值；
（2）利用面积公式即可求解.
【详解】
（1）由余弦定理得：，
即，
所以，
（2）的面积为
.
18．（2020·陕西汉中市·高二月考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）等边三角形.
【解析】
（1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A；
（2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得，结合（1）的结论即可知的形状．
【详解】
（Ⅰ）∵，整理得，
∴，
∴．
（Ⅱ）由正弦定理，得，而，
∴，即，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
19．（2020·重庆高一期末）的内角，，的对边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为，，.
由正弦定理，可得，所以；
（2）由余弦定理，，
，（舍），所以.
20．（2021·全国高三专题练习（理））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
（1）求角B的大小；
（2）若，求的值；
（3）若，，求边a的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）由正弦定理的边角转化得，结合三角形内角性质即可求角B.
（2）由两角差、倍角公式展开，根据已知条件及（1）的结论即可求值.
（3）根据余弦定理列方程即可求a的值.
【详解】
（1）由正弦定理有：，而为的内角，
∴，即，由，可得，
（2），
∵，，可得，而，
∴，
（3）由余弦定理知：，又，，，
∴，可得.
21．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二开学考试（理））在中，已知.
（1）求角；
（2）若，，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据不为0，得出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展开，将各自的值代入开方即可求出值.
【详解】
（1）原式可化为：
，
，，
，
又，；
（2）由余弦定理，得，
，，
，
，
.
22．（2020·全国高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，_____？
【答案】答案见解析
【解析】
由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围，可求，
若选择条件①，利用正弦定理可得，由余弦定理即可求得的值.
若选择条件②，由条件可求的值，进而可求得，由正弦定理即可解得的值.
若选择条件③，由已知利用三角形内角和定理可求，推出矛盾即可得解.
【详解】
因为，
由正弦定理可得：，
因为为三角形内角，，
所以，即，可得，
因为，所以，
若选择条件①，由，
利用正弦定理，可得，
由余弦定理，
则，解得.
若选择条件②，由于，可得，
又因为，所以是以为顶角的等边三角形，
所以，可得，
由正弦定理，可得，解得.
若选择条件③，
由于，又因为，
可得，这与矛盾，则这样的三角形不存在.