大题专练训练38：导数（双变量与极值点偏移问题1）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练38—导数（双变量与极值点偏移问题1）

1．已知函数，若关于的方程有两个正实数根，且．

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：．

解：（1）由，得，

令，则或，

当或时，；当时，，

在和 上单调递减，在上单调递增，

且有两个正根，（1），

，的取值范围为．

（2）关于的方程有两个正实数根，且．

由（1）知，

设，，

则，

在上单调递减，（1），

，又 在 上单调递减，

，，要证，

只需证，即证，

且， 成立．

2．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．

（1）求的取值范围．

（2）设的两个极值点为，，证明．

解：（1）函数的定义域为，．

函数在其定义域内有两个不同的极值点．方程在有两个不同根；

转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点．

又，即时，，时，，

故在上单调增，在上单调减．故（e）．

又有且只有一个零点是1，且在时，，在在时，，

故的草图如右图，

，即．故的取值范围为．

（2）由（Ⅰ）可知，分别是方程的两个根，

      即，，

设，作差得．得．

要证明．只需证明

，，即只需证明，

令，则，只需证明，

设  ，．

函数在上单调递增，

（1），故成立．

成立．

3．已知函数．

（1）若对任意的实数，函数的图象与直线有且只有两个交点，求的取值范围；

（2）设，若函数有两个极值点，，且，证明：．

解：（1），则，

由已知得：函数的图象与直线有两个交点，

即方程有两个不相等的实数解，

设，则’ ，令’ 得：，

时，’ ，单调递减，

时，’ ，单调递增，

，，，

且时，；时，，

时，函数’ 的图象与直线有且只有两交点．

（2）证明：，’ ，

函数有两个极值点，，

方程’ 有两个不同的实数解，，

由（1）知：，，且，

在区间，，上单调递增，在区间，上单调递减，

且，，

设，

则，

在上单调递减，

又，恒成立，即，

，

又在，单调递减，，

要证，只须证，

即证，

设，则’ ，

令，则’ ，

所以在单调递增，，即’ ，

所以在单调递增，，

故当时，，即，

所以，亦即．

4．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有两个零点，．

①求的取值范围；

②证明：．

解：（1）的定义域为，，

（ⅰ）当时，在上单调递增；

（ⅱ）当时，若，则，在上单调递增；

若，则，在区间上单调递减；

综上：时，在上单调递增；

时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）①由（1）知，时，单调递增，至多一个零点，不合题意，

当时，在上单调递增，在区间上单调递减；

，若函数有两个零点，，

由于时，，时，，所以，解得，

故所求的取值范围为；

②证明：由题意：，，，

要证，只要证，即．

只要证即证，

令，，

（1），即成立，

故原不等式成立．

5．已知函数，．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：函数有两个不相等的零点，，证明：．

解：（1）当时，，

，

令，解得，，

，

当或时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

在，上单调递减，在上单调递增，

证明：（2），

在上单调递增，在上单调递减，

（1），

，（2），

，，使得，

要证，即证，

，，

又且在上单调递增，

需证，即证，

，即证，，

令

，，

，

，，，

在恒成立，

在上单调递增，

（1），

当时，

，得证，

．

6．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求证：．

1）解：的定义域为，．

令，方程的判别式△，

（ⅰ）当△，即时，恒成立，

即对任意，，

所以在上单调递增．

（ⅱ）当△，即或．

①当时，恒成立，即对任意，，

所以在上单调递增．

②当时，由，解得，．

所以当时，；当时，；当时，，

所以在上，，

在上，，

所以函数在和上单调递增；

在上单调递减．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：由，得，所以，

因为，所以，

令，则，，

所以，，所以，

所以要证，只要证，即证，

由（1）可知，当时，所以在上是增函数，

所以，当时，（1），即成立，

所以成立．

7．函数在上不单调．

（1）求的取值范围；

（2）若，，，求证：．

解：（1），

根据题意知，在上有变号根，

即方程在上有变号根，

等价于方程在上有变号根，

即方程在上有变号根，

而当时，，

于是，得．

（2）证明：函数定义域为，，，

当时，的正负性与一致，

令，该二次函数开口向上，对称轴为：，

且，，（1），

故存在，使得，，，

使得，

即，均为一元二次方程的根，

故，，

故，

其中，故

由此，，

故

，

令，，

时，恒成立，此时单调递减；

故，，

对，，恒成立．

8．已知函数为常数）．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若存在两个极值点，，且，证明：．

解：（1），，

，设，，

当时，△，成立，则有，

所以函数在单调递增，

当时，△，由得或（舍，

由得，

令，解得：（舍或，

故时，，故在递增，

时，在，单调递增，在单调递减，

综上：当，时，函数在的单调递增，

当时，函数在，单调递增，在单调递减；

（2）证明：由（1）知函数的两个极值点，满足，

，不妨设，

则在，上是减函数，故，

，

令，则，

又，即，解得，

故，，

设，则，

在，上为增函数，

，

所以．