专题8.2 立体几何（解答题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题8.2 立体几何（解答题）

A组 5年高考真题

1．（2015•新课标Ⅰ，理18）如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，．

（Ⅰ）证明：平面平面

（Ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．

2．（2018•新课标Ⅱ，理20）如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

3．（2016•新课标Ⅲ，理19）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

4．（2013新课标Ⅰ，理18）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°．

（Ⅰ）证明AB⊥A1C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．

5．（2021全国Ⅰ理18）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

6．（2021全国Ⅲ理19）如图，在长方体中，点分别在棱上，且．

（1）证明：点在平面内；

（2）证明：若时，求二面角的正弦值．

7．（2019•新课标Ⅰ，理18）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值．

8．（2019•新课标Ⅱ，理17）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值．

9．（2018•新课标Ⅲ，理19）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

10．（2017•新课标Ⅰ，理18）如图，在四棱锥中，，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

11．（2017•新课标Ⅱ，理19）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点．

（1）证明：直线平面；

（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．

12．（2017•新课标Ⅲ，理19）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．

（1）证明：平面平面；

（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．

13．（2016•新课标Ⅰ，理18）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

B组 能力提升

14．（2021届四川省成都市高三第二次诊断）如图，在四棱锥中，是边长为的正方形的中心，平面，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

15．（2021届陕西省西安中学高三第一次模拟）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，、分别为、中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的大小．

16．（2021届山西省大同市第一中学高三一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

17．（2021届江西师范大学附属中学高三一模）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，．

（1）求证：平面ACD；

（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值．

18．（2021届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）如图，三棱台中， 侧面与侧面是全等的梯形，若，且.

（Ⅰ）若，，证明：∥平面；

（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

19．（2021届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

20．（2021届湖北省黄冈中学高三高考模拟）如图，已知边长为2的正三角形所在的平面与菱形所在的平面垂直，且，点是的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

21．（2021届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.