2021年四川省绵阳市中考数学三诊试卷（word版含答案）

这是一份2021年四川省绵阳市中考数学三诊试卷（word版含答案），共38页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2021年四川省绵阳市中考数学三诊试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）中国人最早使用负数，可追溯到两千年前的秦汉时期，则﹣0.5的倒数是（　　）
A．−12 B．﹣2 C．2 D．12
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的有（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）2019年末至2020年初全球爆发了新冠肺炎“COVID﹣19“，世卫组织表示国际病毒分类委员会认定引发本次全球疫情的病毒是SARS冠状病毒的姊妹病毒．若某种冠状病毒的直径为120纳米，1纳米＝10﹣9米，则这种冠状病毒的直径（单位：米）用科学记数法表示为（　　）
A．120×10﹣9米 B．1.2×10﹣6米 C．1.2×10﹣7米 D．1.2×10﹣8米
4．（3分）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°，AE与BC相交于点F，若AB∥DE，则∠EFB的大小是（　　）

A．75° B．90° C．105° D．120°
5．（3分）疫情期间，为调查某校学生体温的情况，张老师随机调查了50名学生，结果如表：
体温（单位：℃）
36.2
36.3
36.5
36.7
36.8
人数
8
10
7
13
12
则这50名学生体温的众数和中位数分别是（　　）
A．36.8℃，36.5℃ B．36.8℃，36.7℃
C．36.7℃，36.6℃ D．36.7℃，36.5℃
6．（3分）若28n是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（3分）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y=−110x2+35x+85，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）

A．85米 B．8米 C．10米 D．2米
8．（3分）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）．若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大（　　）
消毒液
每瓶售价（元）
每瓶成本（元）
每日其他费用（元）
每日最大产销量（瓶）

30
18
1200+0.02x2
250
A．250 B．300 C．200 D．550
9．（3分）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC＝3：5，则ADAB的值为（　　）

A．12 B．33 C．13 D．22
10．（3分）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（　　）

A．2721 B．7523 C．3217 D．2723
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．当线段DG最小时，△BCG的面积S为（　　）

A．4+455 B．8+855 C．6+455 D．7+255
二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．（4分）因式分解：（m+1）（m﹣9）+8m＝　 　．
14．（4分）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是　 　．

15．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，以BC为直径的⊙O交AD于点E，且AE＝AB，CD＝DE，BC＝6，AD=43，则图中阴影部分的面积为　 　．

16．（4分）若关于x的方程1x−3+3=k(x−4)3−x无解，则k＝　 　．
17．（4分）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点A'处，当△A'CD
是直角三角形时，AP的长为　 　．

18．（4分）已知：如图，△ABC中，∠A＝45°，AB＝6，AC=42，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点，则△DEF周长的最小值是 　 　．

三．解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）（1）计算：﹣22+|1﹣tan60°|+（1π−1）0•（3−12）﹣1−12；
（2）先化简，再求值：a2−3aa+2÷（a﹣2−5a+2）+a2−aa+3，其中a2﹣2a﹣6＝0．
20．（12分）“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”，在新型肺炎疫情期间，全国人民万众一心，众志成城，共克时艰．某社区积极发起“援鄂捐款”活动倡议，有2500名居民踊跃参与献爱心．社区管理员随机抽查了部分居民捐款情况，统计图如图：

（1）计算本次共抽查居民人数，并将条形图补充完整；
（2）根据统计情况，请估计该社区捐款20元以上（含20元）的居民有多少人？
（3）该社区有1名男管理员和3名女管理员，现要从中随机挑选2名管理员参与“社区防控”宣讲活动，请用列表法或树状图法求出恰好选到“1男1女”的概率．
21．（12分）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元．
（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；

C
D
总计
A
x吨

200吨
B


300吨
总计
240吨
260吨
500吨
（2）当x为何值时，A村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．
22．（12分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y=mx的图象都经过点A（a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．

23．（12分）如图，线段AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，取ABC的中点D，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，连接AD、CD，CD与AB交于点F．
（1）求证：∠ABC＝2∠OAD；
（2）当sinE=13时，求AFEF；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径r＝3，求DF的值．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x=−32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）点P为线段AB上的动点，求AP+2PC的最小值；
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（14分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）如图2，当点N落在BD上时，求t的值；
（2）当点P在边AD上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（3）写出在点P运动过程中，直线DN恰好平分△BCD面积时t的所有可能值．


2021年四川省绵阳市中考数学三诊试卷
答案与解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）中国人最早使用负数，可追溯到两千年前的秦汉时期，则﹣0.5的倒数是（　　）
A．−12 B．﹣2 C．2 D．12
【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：∵﹣0.5=−12，
∴﹣0.5的倒数是﹣2，
故选：B．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的有（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误．
故选：B．
3．（3分）2019年末至2020年初全球爆发了新冠肺炎“COVID﹣19“，世卫组织表示国际病毒分类委员会认定引发本次全球疫情的病毒是SARS冠状病毒的姊妹病毒．若某种冠状病毒的直径为120纳米，1纳米＝10﹣9米，则这种冠状病毒的直径（单位：米）用科学记数法表示为（　　）
A．120×10﹣9米 B．1.2×10﹣6米 C．1.2×10﹣7米 D．1.2×10﹣8米
【分析】绝对值小于1的正数利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：120纳米＝120×10﹣9米＝1.2×10﹣7米，
故选：C．
4．（3分）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°，AE与BC相交于点F，若AB∥DE，则∠EFB的大小是（　　）

A．75° B．90° C．105° D．120°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠EAB＝∠E，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥DE，∠E＝45°，
∴∠EAB＝∠E＝45°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝∠B+∠EAB＝60°+45°＝105°．
故选：C．
5．（3分）疫情期间，为调查某校学生体温的情况，张老师随机调查了50名学生，结果如表：
体温（单位：℃）
36.2
36.3
36.5
36.7
36.8
人数
8
10
7
13
12
则这50名学生体温的众数和中位数分别是（　　）
A．36.8℃，36.5℃ B．36.8℃，36.7℃
C．36.7℃，36.6℃ D．36.7℃，36.5℃
【分析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义，即中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），即可得出答案．
【解答】解：36.7出现了13次，出现的次数最多，则众数是36.7℃；
把这组数据从小到大排列，第25个或第26个数分别是36.5，36.7，则中位数是（36.5+36.7）÷2＝36.6℃．
故选：C．
6．（3分）若28n是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的性质得出n的最小值．
【解答】解：∵28n=27n是整数，
∴正整数n的最小值是：7．
故选：D．
7．（3分）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y=−110x2+35x+85，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）

A．85米 B．8米 C．10米 D．2米
【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线y=−110x2+35x+85与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：当y＝0时，即y=−110x2+35x+85=0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：B．
8．（3分）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）．若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大（　　）
消毒液
每瓶售价（元）
每瓶成本（元）
每日其他费用（元）
每日最大产销量（瓶）

30
18
1200+0.02x2
250
A．250 B．300 C．200 D．550
【分析】根据题意和表格中的数据，可以得到利润与销量x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可求得利润的最大值．
【解答】解：设每日产销利润为w元，
由题意可得：w＝（30﹣18）x﹣（1200+0.02x2）＝﹣0.02（x﹣300）2+600，
∴当x＜300时，w随x的增大而将增大，
∵x≤250，
∴当x＝250时，w取得最大值，此时w＝550，
故选：D．
9．（3分）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC＝3：5，则ADAB的值为（　　）

A．12 B．33 C．13 D．22
【分析】首先设AE与CD相交于F，根据折叠的性质可得△ACF、△DEF是等腰三角形，继而证得△ACF∽△EDF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DF：FC＝3：5，再设DF＝3x，FC＝5x，即可求得AB，继而求得答案．
【解答】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BAC＝∠EAC，AE＝AB＝CD，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
设AE与CD相交于F，则AF＝CF，
∴AE﹣AF＝CD﹣CF，
即DF＝EF，
∴DFFC=EFAF，
又∵∠AFC＝∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴DFFC=DEAC=35，
设DF＝3x，FC＝5x，则AF＝5x，
在Rt△ADF中，AD=AF2−DF2=(5x)2−(3x)2=4x，
又∵AB＝CD＝DF+FC＝3x+5x＝8x，
∴ADAB=4x8x=12．
故选：A．

10．（3分）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（　　）

A．2721 B．7523 C．3217 D．2723
【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M=3DM=3，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．
【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，

∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C=12×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M=3DM=3，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'=BM2+C'M2=22+(3)2=7，
∵S△BDC'=12BC'•DH=14BD•CM，
∴7DH＝3×3，
∴DH=3217，
∵∠DCB＝∠DBC'，
∴点D到BC的距离为3217，
故选：C．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF=12S△AOE＝9，可得S△FME=13S△EOF＝3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．

∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM=12AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM=k2，
∴12•ON•AN=12•OM•FM，
∴ON=12OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME=13OE，
∴S△FME=13S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF=12S△AOE＝9，
∴S△FME=13S△EOF＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6=k2，
∴k＝12．
故选：B．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．当线段DG最小时，△BCG的面积S为（　　）

A．4+455 B．8+855 C．6+455 D．7+255
【分析】用圆外一点到圆上的最小距离的确定方法判断出此圆弧上一点到点D的距离最小，再用勾股定理求出DG的长，判断出△DMG∽△DAP求出GM，进而求出△BCG的高GN，利用三角形的面积公式得出△BCG的面积．
【解答】解：如图，设AB的中点为点P，连接PD，
∵点G是以点P为圆心AB为直径的圆弧上一点，
∴当点G在PD上时，DG有最小值，
在Rt△ADP中，AP=12AB＝2，AD＝4，
根据勾股定理得，PD=AD2+DF2=42+22=25，
∴DG的最小值为25−2，
过点G作BC的垂线与AD相交于点M，与BC相交于N，
∴GM∥PA，
∴△DMG∽△DAP，
∴GMAP=DGDP，
∴GM=10−255，
∴△BCG的高GN＝4﹣GM=10+255，
∴S△BCG=12×4×10+255=4+455．
故选：A．

二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．（4分）因式分解：（m+1）（m﹣9）+8m＝　（m+3）（m﹣3）　．
【分析】先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（m+1）（m﹣9）+8m，
＝m2﹣9m+m﹣9+8m，
＝m2﹣9，
＝（m+3）（m﹣3）．
故答案为：（m+3）（m﹣3）．
14．（4分）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是　（﹣4，﹣3）　．

【分析】根据位似图形的性质，对应点的坐标相交于一点，连接AA1，BB1，CC1，交点即是P点坐标．
【解答】解：∵△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，根据位似图形的性质，
对应点的坐标相交于一点，连接AA1，BB1，CC1，交点即是P点坐标，
∴如图所示，P点的坐标为：（﹣4，﹣3）．
故答案为：（﹣4，﹣3）．

15．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，以BC为直径的⊙O交AD于点E，且AE＝AB，CD＝DE，BC＝6，AD=43，则图中阴影部分的面积为　93−3π　．

【分析】连接OA，OE，根据全等三角形的性质得到∠AEO＝∠ABO＝90°，∠EAO＝∠BAO，过D作DH⊥AB于H，则四边形BCDH是矩形，得到DH＝BC＝6，根据三角函数的定义得到∠BAD＝60°，求得∠BOE＝120°，∠EAO＝∠BAO＝30°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OA，OE，
∵AE＝AB，OE＝OB，OA＝OA，
∴△ABO≌△AEO（SSS），
∴∠AEO＝∠ABO＝90°，∠EAO＝∠BAO，
过D作DH⊥AB于H，
则四边形BCDH是矩形，
∴DH＝BC＝6，
∴sin∠BAD=DHAD=32，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BOE＝120°，∠EAO＝∠BAO＝30°，
∴AB=AE=33，
∴图中阴影部分的面积＝2×12×3×33−120⋅π×32360=93−3π，
故答案为：93−3π．

16．（4分）若关于x的方程1x−3+3=k(x−4)3−x无解，则k＝　1或﹣3　．
【分析】把关于x的方程1x−3+3=k(x−4)3−x化为整式方程，观察可得整式方程不存在无解的情况，那么就是分式方程产生增根了，把增根代入整式方程即可．
【解答】解：两边同时乘（x﹣3），
得1+3（x﹣3）＝﹣k（x﹣4），
整理得：3x﹣8＝﹣kx+4k，或（3+k）x＝8+4k，
整式方程不存在无解的情况，
∴原方程无解时，x＝3，或3+k＝0
把x＝3代入3x﹣8＝﹣kx+4k，解得：k＝1，或k＝﹣3
故答案为：1或﹣3．
17．（4分）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点A'处，当△A'CD
是直角三角形时，AP的长为　2或78　．

【分析】首先证明四边形AEA′F是菱形，得出AP＝PA′，分两种情况分两种情形：①∠DA'C＝90°时，②∠A'DC＝90°时，分别计算即可．
【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠DAC＝∠BAC，AC⊥BD，OA＝OC＝4，OB＝OD，
∴OB＝OD=AB2−OA2=3，
∵EF⊥AA′，
∴∠EPA＝∠FPA＝90°，
∴∠EAP+∠AEP＝90°，∠FAP+∠AFP＝90°，
∴∠AEP＝∠AFP，
∴AE＝AF，
∵△A′EF是由△AEF翻折，
∴AE＝EA′，AF＝FA′，
∴AE＝EA′＝A′F＝FA，
∴四边形AEA′F是菱形，
∴AP＝PA′，
分两种情况：
①当∠DA'C＝90°时，A'与O重合，
此时AA'＝4，
∴AP＝2；
②当∠A'DC＝90°时，
设AP＝PA′＝x，则OA'＝4﹣2x，
∵AC⊥BD，
∴∠A'OD＝∠DOC＝90°，
由角的互余关系得：∠A；DO＝∠DCO，
∴△A'OD∽△DOC，
∴OA'OD=ODOC，
即4−2x3=34，
解得：x=78，
即AP=78；
故答案为：2或78．


18．（4分）已知：如图，△ABC中，∠A＝45°，AB＝6，AC=42，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点，则△DEF周长的最小值是 　12105　．

【分析】如图，作E关于AB的对称点，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，推出△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，推出当点E固定时，此时△DEF的周长最小，再证明△MNA是等腰直角三角形，推出MN=2AE，推出当AE的值最小时，MN的值最小，求出AE的最小值即可解决问题；
【解答】解：如图，作E关于AB的对称点，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．

由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，
∴△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，
∴当点E固定时，此时△DEF的周长最小，
∵∠BAC＝45°，∠BAE＝∠BAM，∠CAE＝∠CAN，
∴∠MAN＝90°，
∴△MNA是等腰直角三角形，
∴MN=2AE，
∴当AE的值最小时，MN的值最小，
∵AC＝42，
∴AK＝KC＝4，
∵AB＝6，
∴BK＝AB﹣AK＝2，
在Rt△BKC中，∵∠BKC＝90°，BK＝2，CK＝4，
∴BC=BK2+CK2=25，
∵12•BC•AH=12•AB•CK，
∴AH=1255，
根据垂线段最短可知：当AE与AH重合时，AE的值最小，最小值为1255，
∴MN的最小值为12105，
∴△DEF的周长的最小值为12105．
故答案为12105．
三．解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）（1）计算：﹣22+|1﹣tan60°|+（1π−1）0•（3−12）﹣1−12；
（2）先化简，再求值：a2−3aa+2÷（a﹣2−5a+2）+a2−aa+3，其中a2﹣2a﹣6＝0．
【分析】（1）利用绝对值的性质，特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质化简进而求出答案．
（2）根据分式的加减法和除法可以化简分式，然后根据a2﹣2a﹣6＝0，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）原式=−4+3−1+1×23−1−23
=−5−3+3+1
＝﹣4．
（2）原式=a(a−3)a+2÷(a−2)(a+2)−5a+2+a(a−1)a+3
=a(a−3)a+2⋅a+2(a−3)(a+3)+a(a−1)a+3
=aa+3+a2−aa+3
=a2a+3，
∵a2﹣2a﹣6＝0，
∴a2＝2a+6．
∴原式=2a+6a+3=2(a+3)a+3=2．
20．（12分）“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”，在新型肺炎疫情期间，全国人民万众一心，众志成城，共克时艰．某社区积极发起“援鄂捐款”活动倡议，有2500名居民踊跃参与献爱心．社区管理员随机抽查了部分居民捐款情况，统计图如图：

（1）计算本次共抽查居民人数，并将条形图补充完整；
（2）根据统计情况，请估计该社区捐款20元以上（含20元）的居民有多少人？
（3）该社区有1名男管理员和3名女管理员，现要从中随机挑选2名管理员参与“社区防控”宣讲活动，请用列表法或树状图法求出恰好选到“1男1女”的概率．
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以求得本次抽查的居民人数，然后即可求得B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出该社区捐款20元以上（含20元）的居民有多少人；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得恰好选到“1男1女”的概率．
【解答】解：（1）本次共抽查居民有：14÷28%＝50（人），
捐款10元的有：50﹣9﹣14﹣7﹣4＝16（人），
补充完整的条形统计图如右图所示；
（2）2500×7+450=550（人），
答：该社区捐款20元以上（含20元）的居民有550人；
（3）树状图如下图所示，

则恰好选到“1男1女”的概率是3+1+1+13×4=612=12．

21．（12分）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元．
（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；

C
D
总计
A
x吨

200吨
B


300吨
总计
240吨
260吨
500吨
（2）当x为何值时，A村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．
【分析】（1）由A村共有香梨200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，填表即可，由从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元，由表格中的代数式，即可分别列出yA，yB与x之间的函数关系式；
（2）由第一问表示出的yA与x之间的函数关系式得到此函数为一次函数，根据x的系数为负数，得到此一次函数为减函数，且90≤x≤200时，A村的运费较少时x的值；
（3）设两村的运费之和为W，W＝yA+yB，把第一问表示出的两函数解析式代入，合并后得到W为关于x的一次函数，且x的系数大于0，可得出此一次函数图象是y随x的增大而增大，可得出x＝0时，W有最小值，将x＝0代入W关于x的函数关系式中，即可求出W的最小值．
【解答】解：（1）填写如下：

C
D
总计
A
x吨
（200﹣x）吨
200吨
B
（240﹣x）吨
（60+x）吨
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
由题意得：yA＝40x+45（200﹣x）＝﹣5x+9000；yB＝25（240﹣x）+32（60+x）＝7x+7920；

（2）yA＝﹣5x+9000，
根据题意得：﹣5x+9000＜7x+7920，
解得：x＞90，
则当90＜x≤200时，A村的运费较少；

（3）设两村的运费之和为W，
则W＝yA+yB＝﹣5x+9000+7x+7920＝2x+16920（0≤x≤200），
∵k＝2＞0，
∴此一次函数为增函数，
则当x＝0时，W有最小值，W最小值为16920元．
此时调运方案为：从A村运往C仓库0吨，运往D仓库为200吨，B村应往C仓库运240吨，运往D仓库60吨．
22．（12分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y=mx的图象都经过点A（a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．

【分析】（1）先由一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），得出3k+b＝0①，由于一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），根据三角形的面积公式可求得b的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y=−23x﹣3，得到E（−92，0），解方程组得到B（6，﹣2），连接AE，BE，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），
∴3k+b＝0①，点C到y轴的距离是3，
∵k＜0，
∴b＞0，
∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），
∴12×3×b＝3，
解得：b＝2．
把b＝2代入①，解得：k=−23，则函数的解析式是y=−23x+2．
故这个函数的解析式为y=−23x+2；
把点A（a，4）代入y=−23x+2得，4=−23a+2，
解得：a＝﹣3，
∴A（﹣3，4），
∴m＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y=−12x；
（2）∵将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y=−23x﹣3，
当y＝0时，即0=−23x﹣3，
解得：x=−92，
∴E（−92，0），
解y=−23x+2y=−12x得，x=−3y=4，x=6y=−2，
∴B（6，﹣2），
连接AE，BE，
∵AB∥DE，
∴S△ADB＝S△AEB=12（3+92）×4+12×（3+92）×2=452．

23．（12分）如图，线段AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，取ABC的中点D，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，连接AD、CD，CD与AB交于点F．
（1）求证：∠ABC＝2∠OAD；
（2）当sinE=13时，求AFEF；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径r＝3，求DF的值．

【分析】（1）先判断出∠ACD＝∠CAD，进而判断出∠BCD+∠CGD＝90°，再判断出∠CDG+∠CGD＝90°，即：∠BCD＝∠CDG，即可得出结论；
（2）先判断出∠OAD＝∠ODA，进而得出∠ABC＝2∠ODA，再判断出∠AHO＝90°＝∠ODE，得出∠BAC＝∠E，再根据锐角三角函数得出DE=3r，BC=13AB=23r，根据勾股定理得，AC=423r，即可得出结论；
（3）先求出CH＝22，再求出OH＝1，在Rt△DHC中，根据勾股定理得，DC＝26，最后判断出△OFD∽△BFC，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
连接AC，∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∵点D是ABC的中点，
∴AD=CD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴∠BCD+∠CAD＝90°
连接DO并延长交⊙O于G，连接CG，
∴∠CAD＝∠CGD，
∴∠BCD+∠CGD＝90°，
∵DG是⊙O的直径，
∴∠DCG＝90°，
∴∠CDG+∠CGD＝90°，
∴∠BCD＝∠CDG，
∴DG∥BC，
∴∠ABC＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠OAD，
∴∠ABC＝2∠OAD；

（2）如图2，连接AC，连接DO并延长交AC于G，
∵OD＝r，则OA＝OB＝OD＝r，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠ABC＝2∠OAD，
∴∠ABC＝2∠ODA，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADH＝∠CDH，
∴DH⊥AC，
∴∠AHO＝90°＝∠ODE，
∴∠BAC＝∠E，
∴AC∥DE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴sinE=ODOE，
∴OE=ODsinE=3r，根据勾股定理得，DE=OE2−OD2=22r，
在Rt△ABC中，AB＝2r，sin∠BAC=BCAB=13，
∴BC=13AB=23r，
根据勾股定理得，AC=AB2−BC2=(2r)2−(23r)2=423r，
∵AC∥DE，
∴△AFC∽△EFD，
∴AFEF=ACDE=423r22r=23；

（3）如图2，由（2）知，OD＝3，BC=23r＝2，
由（2）知，DH⊥AC，
∴CH=12AC=12×423×3＝22，
在Rt△AOH中，sin∠BAC=OHOA，
∴OH＝OA•sin∠BAC＝1，
∴DH＝OD+OH＝4，
在Rt△DHC中，根据勾股定理得，DC=DH2+CH2=26，
∵OA＝OD，
∴∠DOF＝2∠OAD，
∵∠ABC＝2∠OAD，
∴∠DOF＝∠ABC，
∴OD∥BD，
∴△OFD∽△BFC，
∴DFFC=ODBC=32，
∴DFDF+FC=33+2=35，
∴DFCD=35，
∴DF=35CD=665．


24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x=−32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）点P为线段AB上的动点，求AP+2PC的最小值；
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求的直线y=12x+2与x轴，y轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值，从而得抛物线的表达式；
（2）如图1，作∠OAE＝30°，交y轴于E，过点P作PH⊥AE于H，当C，P，H三点共线时，AP+2PC的值最小，根据直角三角形含30度角的性质可得CH的长，从而可得结论；
（3）首先可证明△ABC是直角三角形，且有AC＝2BC，然后分三种情况讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ③当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
【解答】解：（1）y=12x+2中，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣4，
∴C（0，2），A（﹣4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=−32对称，
∴点B的坐标为（1，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），
可设抛物线表达式为y＝a（x+4）（x﹣1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2＝﹣4a，
∴a=−12，
∴抛物线表达式为：y=−12x2−32x+2；

（2）如图1，作∠OAE＝30°，交y轴于E，过点P作PH⊥AE于H，

∴PH=12AP，
∵AP+2PC＝2（12AP+PC）＝2（PH+PC），
∴当C，P，H三点共线时，AP+2PC的值最小，
∵∠APH＝∠OPC，∠COP＝∠AHP＝90°，
∴∠OCP＝∠OAE＝30°，
Rt△AOE中，AO＝4，
∴OE=OA3=433，
Rt△CHE中，EH=12CE=12（2+433）＝1+233，
∴CH=3EH=3+2，
∴AP+2PC的最小值是2CH＝2（3+2）＝23+4；

（3）∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=22+42=25，BC=12+22=5，AB＝4+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，AC＝2BC，
点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似存在以下3种情况：
①如图2，当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；

②如图3，根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；

③如图4，当M在第四象限时，设M（n，−12n2−32n+2），则N（n，0），

∴MN=12n2+32n﹣2，AN＝n+4，
当ANMN=2时，AN＝2MN，即n+4＝2（12n2+32n﹣2），
整理得：n2+2n﹣8＝0，
解得：n1＝﹣4（舍），n2＝2，
∴M（2，﹣3）；
当ANMN=12 时，MN＝2AN，即 12n2+32n﹣2＝2（n+4），
整理得：n2﹣n﹣20＝0，
解得：n1＝﹣4（舍），n2＝5，
∴M（5，﹣18）．
综上所述：存在M（0，2）或（﹣3，2）或（2，﹣3）或（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
25．（14分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）如图2，当点N落在BD上时，求t的值；
（2）当点P在边AD上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（3）写出在点P运动过程中，直线DN恰好平分△BCD面积时t的所有可能值．

【分析】（1）可证△DPN∽△DQB，从而有DPDA=PNQB，即可求出t的值；
（2）根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成二类，如图2、图3，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式；
（3）分两种情形：如图4中，设DN交BC于点T，当CT＝BT时，延长AB交DT于点R．如图5中，当DN平分BC时，满足条件，延长AB交DT于点R．分别构建方程求解即可．
【解答】解：（1）当点N落在BD上时，如图1．

∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN＝PQ＝t．
∴△DPN∽△DQB．
∴DPDA=PNQB，
∵PN＝PQ＝PA＝t，DP＝6﹣t，QB＝AB＝8，
∴6−t6=t8，
∴t=247．
∴当t=247时，点N落在BD上．

（2）①当0＜t≤247时，如图2，

S＝S正方形PQMN＝PQ2＝PA2＝t2．
②当 247＜t≤6时，如图3，

∵tan∠ADB=PGDP=ABAD，
∴PG6−t=86，
∴PG＝8−43t．
∴GN＝PN﹣PG＝t﹣（8−43t）=73t﹣8，
∵tan∠NFG＝tan∠ADB=43，
∴GNNF=43，
∴NF=34GN=34（ 73t﹣8）=74t﹣6．
∴S＝S正方形PQMN﹣S△GNF
＝t2−12×（ 73t﹣8）×（ 74t﹣6）=−2524t2+14t﹣24，
综上所述：当0＜t≤247时，S＝t2．
当 247＜t≤3时，S=−2524t2+14t﹣24．

（3）如图4中，设DN交BC于点T，当CT＝BT时，延长AB交DT于点R．

∵CD∥BR，
∴∠CDT＝∠R，
∵CT＝BT，∠DTC＝∠BTR，
∴△DCT≌△RBT（AAS），
∴CD＝BR＝8，
∴AR＝AB+BR＝16，
∵PN∥AR，
∴DPDA=PNAR，
∴6−t6=t16，
∴t=4811．
如图5中，当DN平分BC时，满足条件，延长AB交DT于点R．

∵PN∥BR，
∴PNBR=DPDB，
∴t−610=35(16−t)8，
∴t=727，
综上所述，满足条件的t的值为4811或727．