第4章专题5 对数函数以及图像与性质（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

对数函数的图像与性质（一）

考向一  对数函数的概念

1、下列函数是对数函数的是　　

A． B．，且 

C． D．

【分析】根据对数函数的定义即可得出．

【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有为对数函数．

故选：．

2、若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.

【解析】因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，

所以解得a＝4.

3、对数函数的图象经过点，，则　　　　 ．

【答案】

【解析】设数函数，且
图象经过点，，
得

故答案为：
4、已知 ，那么 等于

A．  B．
C．  D．

【答案】D

【解析】由题可知，，令，得，所以．

考向二  对数函数的图像

1、（1）如图是对数函数的图象，已知值取，，，，则相应于，，，的值依次是（   ）．

A．，，，     B．，，，

C．，，，     D．，，，

（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（   ）

（3）若函数的值域为，则函数的图象大致是(　　)

【答案】⑴A ⑵⑶B

2、同一直角坐标系中，当时，函数与的图象是

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】当时，函数，，所以图象过点，在其定义域上是增函数；函数的图象过点，在其定义域上是减函数.故选C.

3、当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=ax与y=logax的图象是(　　)

【答案】D

【解析】因为函数y=ax与y=logax互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,

且当0<a<1时,函数y=ax与y=logax都是减函数,观察图象知,D正确.故选D.

4、若点在 图像上，,则下列点也在此图像上的是

A．    B．    C．      D．

D【解析】当时，，所以点在函数图象上．

5、已知函数的图象不经过第四象限，则实数、满足　　

A．， B．， C． D．

【分析】因为函数的图象不经过第四象限，所以当时，，所以．

【解答】解：函数的图象不经过第四象限，

当时，，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题．

6、如图，若，分别为函数和的图象，则　　

A． B． C． D．

【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，得出结论．

【解答】解：根据，分别为函数和的图象，可得，，且，

故选：．

7、对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案．

【解答】解：由对数函数且与二次函数可知，

①当时，此时，对数函数为减函数，

而二次函数开口向下，且其对称轴为，故排除与；

②当时，此时，对数函数为增函数，

而二次函数开口向上，且其对称轴为，故错误，而符合题意．

故选：．

8、已知点在函数的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是　　

A．， B． C． D．

【分析】把点代入函数解析式得，再利用即可判断出点也在函数图象上．

【解答】解：点在函数的图象上，

，

若，则，

点，也在该函数的图象上，

故选：．

考向三  对数函数的性质

1、函数恒过定点________．

【答案】(1,2)

【解析】当时，.所以函数恒过定点(1,2).

2、已知函数f(x)=loga(x+1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是　　　　. 

令x+1=1,得x=0,

则f(0)=loga1+1=1,即定点P的坐标为(0,1).

3、已知函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过点(3,5),则lg m+lg n等于(　　)

A.10         B.lg12          C.1            D

解析:(1)由已知可

m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.

4、已知函数且，且，则的图象过定点　　

A． B． C． D．

【分析】当时，（1），即可求出结果．

【解答】解：当时，（1），

的图象过定点，

故选：．

5、函数是　　

A．上的增函数 B．上的减函数 

C．上的增函数 D．上的减函数

【分析】对数函数且，定义域为；当时在上为增函数；当时，在上为减函数．

【解答】解：且，定义域为；

当时，在上为增函数，

当时，在上为减函数．

本题，故在上为增函数．

故选：．

6、函数且的图象经过的定点坐标为　　．

【分析】令真数等于1，求得、的值，可得函数的图象经过定点的坐标．

【解答】解：令，求得，可得函数，

故函数且的图象经过的定点坐标为，

故答案为：．

考向四  对数函数的性质应用

1、比较下列各组值的大小：

(1)log5与log5；

(2)log2与log2；

(3)log23与log54.

【解析】　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5<log5.

法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，

所以log5<log5.

(2)法一(单调性法)：由于log2＝，log2＝，

又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，

且>，所以0>log2>log2，

所以<，所以log2<log2.

法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logx及y＝logx的图象，由图易知：log2<log2.

(3)取中间值1，

因为log23>log22＝1＝log55>log54，

所以log23>log54.

2、（1）比较大小（填“”，“”或“”）．

①____；②____；③____； 

 ④____；   ⑤____；       ⑥____．

（2）若，，，则（     ）.

A．  B．  C．  D．

（3）若，，，则（     ）.

A．  B．  C．  D．

（4）若，则（  ）

  A.                   B.     

  C.         D.

【答案】⑴①；②；③；④；⑤；⑥．⑵A； ⑶； 4；

3、若logm8.1<logn8.1<0,那么m,n满足的条件是(　　)

(A)m>n>1   (B)n>m>1

(C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1

【答案】C

【解析】由题意知m,n一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知,当x>1时,底数越大,函数值越小,故选C.

4、若函数且在区间，上的最大值比最小值多2，则　　

A．2或 B．3或 C．4或 D．2或

【分析】先 由，有 且，再对分情况讨论，利用指数函数的单调性即可解题．

【解答】解：由，有 且，

①当 时，，得，

②当  时，，得，

故 或，

故选：．

5、设都是不等于1的正数，则“”是“”的

A．充要条件                    B．充分不必要条件

C．必要不充分条件              D．既不充分也不必要条件

B【解析】由指数函数的性质知，若，则，由对数函数的性质，

得；反之，取，，显然有，此时，于是，所以“”是的充分不必要条件，选B．

6、若，则的取值范围是（      ）

A.              B.       

C.                          D.

【答案】C

7、函数f(x)是奇函数，且在区间上是减函数，则比较大小_______．

【答案】

【解析】，因为函数是奇函数，且在区间上是减函数，由,得，则，即

8、已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．

【解析】因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，

所以由log0.7(2x)<log0.7(x－1)得解得x>1.

即x的取值范围是(1，＋∞)．

9、已知f(x)=log3x，则的大小是

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】由函数y=log3x的图象可知，图象呈上升趋势，即随着x的增大，函数值y也在增大，故．

10、函数，x∈(0,8]的值域是(　　)

A.[－3，＋∞) B.[3，＋∞)

C.(－∞，－3] D.(－∞，3]

【答案】A

【解析】∵，故选A.

11、设，，则 （　　）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题得.

,所以.故选：D

考向五  指数函数与对数函数的关系（反函数）

1、下列说法正确的是　　

A．函数与图象关于轴对称 

B．函数与图象关于轴对称 

C．函数与图象关于直线对称 

D．函数与图象关于轴对称

【分析】根据图象关于原点对称、图象关于轴对称、图象关于轴对称、图象关于对称，分别画出出各个函数图象，再对照选项即可得出正确答案．

【解答】解：令，分别作出对应的图象，由图象可知

对于选项，函数与图象关于轴对称，故不正确，

对于选项，函数与图象关于轴对称，故不正确，

对于选项，函数与图象关于直线对称，故正确，不正确．

故选：．

2、（1）若,,且，，．则与的图象（    ）

A．关于直线对称　　     B．关于直线对称

C．关于轴对称  　　　　 　    D．关于原点对称

（2）若函数（，且）的反函数的图象过点，则______．

（3）若的反函数是，则值为（   ）

A．3    B．    C．    D．

【答案】（1）B （2） （3）C

3、已知函数，若函数是的反函数，则（　　）

A．1     B．2     C．3    D．4

【答案】B

【解析】

由函数 ，得，

把x与y互换，可得，即，

∴ ，则．

故选：B

4、若函数与函数互为反函数，则　　

A．9 B．11 C．16 D．18

【分析】首先求出反函数的关系式，进一步利用对数的运算的应用求出结果．

【解答】解：因为函数与函数互为反函数，

所以，

所以，

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：反函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

5、设函数且的图象过点，其反函数的图象过，则　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】根据反函数的图象过，可知图象过点，和，代入联立解得．

【解答】解：且的图象过点，

代入得①，

其反函数的图象过，

且的图象过点，

代入得②，

联立①②，解之得，，

故选：．

【点评】本题考查反函数，以及指数函数，属于基础题．

【点评】本题主要考查函数的图象的对称性的应用，考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．

6、已知函数，，若（3）（3），则与的图象为　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据指数函数的性质，由（3）（3）得到（3）从而得到的取值范围，然后根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论．

【解答】解：，，若（3）（3），

（3），（3），

，

即，都为增函数，

故选：．