第3章专题5 分段函数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

分段函数

考向一  分段函数的函数值

1、已知 ，则的值为（  　）

A．5    B．2    C．-1    D．-2

【答案】A

【解析】由，

可得,

,故选A.

2、设，当时，f（x）的最小值是_____；

【答案】  [0，]   

【解析】当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，

当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，

则函数的最小值为

3、如图所示，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则的值等于________.

【答案】2

【解析】∵， ＝1，∴＝f(1)＝2.

4、已知函数，若，则x=___________

【答案】

【解析】因为函数，

当时，,

当时，,

可得（舍去），或，故答案为.

5、设函数若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，则方程f(x)＝x的解集为________．

【答案】{－2,2}

【解析】当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，

因为f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，所以，解得.

故

当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，解得x＝－2或x＝1(1>0，舍去)．

当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2.

所以方程f(x)＝x的解集为{－2,2}．

6、已知f(x)=

(1)若f(a)=4,且a>0,求实数a的值;

(2)求的值.

【答案】(1) a=或a=.

(2)2.

【解析】(1)若0<a<2,则f(a)=2a+1=4,

解得a=,满足0<a<2.

若a≥2,则f(a)=a2-1=4,

解得a=或a=-(舍去),

∴a=或a=.

(2)由题意

7、已知函数f(x)＝

(1)求f(－5)，f(－)，f的值；

(2)若f(a)＝3，求实数a的值．

【解析】(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.

∵f＝－＋1＝－，   而－2<－<2，

∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－.

(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．

当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，

解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意．

当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．

综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.

考向二  分段函数的图像

1、函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？

【解析】能．f(x)＝

函数f(x)的图象如图所示．

2、已知函数f(x)=

(1)求f(f(f(5)))的值;

(2)画出函数的图象.

【答案】(1)-1(2)作图见解析

【解析】(1)因为5>4,所以f(5)=-5+2=-3.

因为-3<0,所以f(f(5))=f(-3)=-3+4=1.

因为0<1<4,所以f(f(f(5)))=f(1)=12-2×1=-1,即f(f(f(5)))=-1.

(2)图象如图所示.

3、已知函数，，请画出函数的图像。

【解析】函数的图象如图所示：

4、给定函数,

 (1)在同一直角坐标系中画出函数的图像；

（2）

.请分别用图像法和解析法表示函数.

（1）同一直角坐标系中函数的图像

（2）结合的定义，可得函数的图像

由解得.

由图易知的解析式为

=

考向三  分段函数的值域

1、函数f(x)=的值域是(　　)

A.R B.[0,+∞)

C.[0,3] D.[0,2]∪{3}

【答案】D

2、若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．

【答案】由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．

3、用表示三个数中最小值，则函数的最大值是           ．

【答案】6

【解析】由分别解得，则函数

则可知当时，函数取得最大值为6

考向三  实际函数模型

1、某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10 000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)=则总利润最大时店面经营天数是　　　. 

【答案】200

【解析】设总利润为L(x),

则L(x)=

则L(x)=

当0≤x<300时,L(x)max=10 000,

当x≥300时,L(x)max=5 000,

所以总利润最大时店面经营天数是200.

2、某村电费收取有以下两种方案供农户选择:

方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度时,每度0.5元,超过30度时,超过部分按每度0.6元收取.

方案二:不收管理费,每度0.58元.

(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;

(2)老王家九月份按方案一交费35元,问老王家该月用电多少度?

(3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?

【答案】见解析

【解析】(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.5x,

当x>30时,L(x)=2+30×0.5+(x-30)×0.6=0.6x-1,

所以L(x)=(注:x也可不取0)

(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.5x=35得x=66,舍去.

当x>30时,由L(x)=0.6x-1=35得x=60.

所以老王家该月用电60度.

(3)设按方案二收费为F(x)元,则F(x)=0.58x.

当0≤x≤30时,由L(x)<F(x),得2+0.5x<0.58x,所以x>25,所以25<x≤30.

当x>30时,由L(x)<F(x),得0.6x-1<0.58x,所以x<50,所以30<x<50.

综上,25<x<50.

故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选择方案一比方案二更好.

3、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

【解析】　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．

由题意得函数的解析式如下：

y＝

函数图象如图所示：