高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形第1课时教案

第八章 立体几何初步

8.1 基本几何图形

第1课时 棱柱、棱锥、棱台

一、教学目标

1. 通过计算机模拟或者利用实物概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；

2.能用数学语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征；

3.能表示有关几何体以及进行棱柱、棱锥、棱台的分类。

3.通过对棱柱、棱锥、棱台的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点

1.让学生观察大量空间实物及计算机模型，进而概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征；

2. 会进行多面体的相关计算.

三、教学过程：

（1）创设情景

我们生活中除了存在大量的平面图形：三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等，在我们周围还存在着很多的物体，它们都占据着空间的一部分.

阅读课本以及通过计算机模拟生活中的一些物体,让学生小组合作完成以下问题

（2）新知探究

问题1：什么是空间几何体？什么是多面体与旋转体？

让学生仔细观察这些物体,回答出概念.

问题2：对于空间中这些几何体，我们如何认识它们的结构特征？

让学生仔细观察这些物体,找出它们的结构特征。

问题3：多面体包含哪些图形？这些图形是怎样定义的？又有什么结构特点？

让学生仔细观察这些物体,将这些图形进行比较,找出它们的结构特点。

问题4：对空间中不同形状、大小的几何体大家如何理解它们的联系和区别？

小组合作，让学生畅所欲言，学生之间质疑，教师从旁引导学生不断揭示它们联系和区别。

（3）生成新知

空间几何体的定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。

多面体的定义：由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．

旋转体的定义：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．

棱柱的定义：一般地,有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的多面体叫做棱柱.

为了研究的方便,我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.

棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

棱柱的表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。

练习：下列说法中正确的是（    ）

A．棱柱的面中，至少有两个互相平行

B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C．棱柱中各条棱长都相等

D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

【答案】A

【解析】由棱柱的特征：①有两个面相互平行且全等；②其余各面都是平行四边形；

③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．可知只有正确．故选：A．

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.

棱锥的分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫四面体。

棱锥的表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥S-ABCD。

练习：判断正误

(1).棱锥的侧面均为三角形(     )

(2).有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥(     )

(1).√棱锥的侧面都是三角形;(2).×

棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面区截棱锥，底面于截面之间的部分叫做棱台。

原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点。

棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……

棱台的表示法：用各顶点字母表示棱柱，如棱台ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。

练习：下列几何体是不是棱台,为什么?

（4）数学运用

例1.下列关于棱柱的说法正确的个数是（    ）

①四棱柱是平行六面体；

②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；

③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；

④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；

有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体可能侧棱不平行，故②不正确；

由棱柱的定义可得③正确；

底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确．故选:A．　

变式训练:下列说法中不正确的是（    ）

A．直四棱柱是直平行六面体 B．直平行六面体是长方体

C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱

【答案】ABD

【解析】直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；

直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；

C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．故选：ABD．

例2.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1.

(1)这个长方体是棱柱吗?为什么?

(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分,各部分几何体的形状是什么?

【答案】（1）长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱.（2）棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.

【解析】(1)长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱.

长方体中相对的两个面是平行的,其余每个面都是矩形(四边形),且每相邻的两个矩形的公共边都互相平行,符合棱柱的结构特征,

∴长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱.

(2)根据棱柱的定义可知,各部分几何体都是棱柱,分别为棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.

变式训练:试从正方体的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．

（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；

（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；

（3）三棱柱．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.

【解析】（1）如图所示，三棱锥（答案不唯一）．

（2）如图所示，三棱锥（答案不唯一）．

（3）如图所示，三棱柱（答案不唯一）．

例3.如图所示的是一个三棱台ABC－A1B1C1，

（1）如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是________________．

（2）如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是__________．

【答案】A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1    两个三棱台(或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个五面体)   

【解析】（1）如图①所示，所截成的三个三棱锥分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1．

（2）用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到两个三棱台，也可以截成一个三棱柱和一个五面体，如图②所示，也可以截成一个三棱锥和一个五面体，如图③所示．

例4.如图,棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中,点M,N,E分别为棱AA1,AB,AD的中点,以A为圆心,1为半径,分别在面ABB1A1和面ABCD内作弧和弧,并将两弧各五等分,分点依次为P1,P2,P3,P4以及Q1,Q2,Q3,Q4.一只蚂蚁欲从点P1出发,沿正方体的表面爬行至Q4,求其爬行的最短距离.

(参考数据:cos 9°≈0.987 7;cos 18°≈0.951 1;cos 27°≈0.891 0)

【答案】1.782 0

【解析】将平面ABCD绕AB旋转至与平面ABB1A1共面的位置,如图1所示:

图1

则∠P1AQ4=×8=144°,

所以|P1Q4|=2sin 72°.

将平面ABCD绕AD旋转至与平面ADD1A1共面的位置,将ABB1A1绕AA1旋转至与平面ADD1A1共面的位置,如图2所示:

图2

则∠P1AQ4=×2+90°=126°,所以|P1Q4|=2sin 63°.因为sin 63°<sin 72°,且由诱导公式可得sin 63°=cos 27°,所以最短距离为2sin 63°≈2×0.891 0=1.782 0.

四、小结：

1.空间几何体      

2.多面体与旋转体         

3.常见多面体

五、作业：习题8.1