数学必修 第一册2.1 函数概念学案及答案

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[问题] 你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？



知识点一 生活中的变量关系
1．在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．
2．函数关系可用表格、表达式、图象及分段函数形式表达．
1.(多选)如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中正确的有( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D．这天21时的温度是30 ℃
解析：选ABD 这天的最高温度与最低温度相差36－22＝14(℃)，故C错．A、B、D均正确．
2．如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压，使之成为一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图象表示为( )

解析：选B 圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化．
知识点二 函数的有关概念
eq \a\vs4\al()
对函数概念的再理解
(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；
(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式；
(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．
f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
1．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．
解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．
答案：①②④
2．函数f(x)＝eq \f(1,\r(4－x))的定义域是________．
解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．
答案：{x|x<4}
3．已知f(x)＝3x＋2，则f(2)＝________；若f(a)＝－4，则a＝________．
答案：8 －2
知识点三 同一个函数
一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
1．函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数只看定义域和对应关系？
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．
2．定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是________(填序号)．
①f(x)＝x，g(x)＝eq \f(x2,x)；
②f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1；
③f(x)＝x，g(x)＝eq \r(3,x3).
解析：①中f(x)＝x与g(x)＝eq \f(x2,x)的定义域不同；②中f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1的对应关系不同．
答案：③
[例1] (链接教科书第52页例1)(1)下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？
①f(x)＝|x|，φ(t)＝eq \r(t2)；
②y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)，y＝eq \r(1－x2)；
③y＝eq \r(（3－x）2)，y＝x－3.
(2)判断下列对应关系f是否为定义在集合A上的函数：
①A＝R，B＝R，对应关系f：y＝eq \f(1,x2)；
②A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示：
[解] (1)①f(x)与φ(t)的定义域相同，
又φ(t)＝eq \r(t2)＝|t|，
即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，
∴f(x)与φ(t)是同一个函数．
②y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)的定义域为{x|－1≤x≤1}，
y＝eq \r(1－x2)的定义域为{x|－1≤x≤1}，
即两者定义域相同．
又∵y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)＝ eq \r(1－x2)，
∴两函数的对应关系也相同．
故y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)与y＝ eq \r(1－x2)是同一个函数．
③∵y＝eq \r(（3－x）2)＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝eq \r(（3－x）2)与y＝x－3不是同一个函数．
(2)①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应关系f：y＝eq \f(1,x2)的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的函数．
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数．
eq \a\vs4\al()
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集；
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应；
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．根据图形判断是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
3．判断同一个函数的方法
判断函数是否是同一个函数，关键是树立定义域优先的原则：
(1)先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
[跟踪训练]
1．下列图象中不能表示函数的图象的是( )
解析：选D D项中，当x>0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数的图象．
2．下列函数中，与函数y＝x(x≥0)是同一个函数的是( )
A．y＝eq \r(x2) B．y＝eq \f(x2,x)
C．y＝eq \r(3,x3) D．y＝(eq \r(x))2
解析：选D y＝eq \r(x2)的定义域为R，定义域不相同，故不是同一个函数；y＝eq \f(x2,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不相同，故不是同一个函数；y＝eq \r(3,x3)的定义域为R，定义域不相同，故不是同一个函数；y＝(eq \r(x))2的定义域为[0，＋∞)，定义域相同，且y＝(eq \r(x))2＝x，x∈[0，＋∞)，函数对应关系也相同，故是同一个函数．故选D.
[例2] (链接教科书第53页例2)求下列函数的定义域：
(1)y＝－2x＋3；(2)f(x)＝eq \f(1,－x＋1)；
(3)y＝eq \r(x－1)＋eq \r(1－x)；(4)y＝eq \f(x＋1,x2－1).
[解] (1)函数y＝－2x＋3的定义域为{x|x∈R}．
(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则－x＋1≠0，x≠1.故函数的定义域为{x|x≠1}．
(3)要使函数式有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,1－x≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥1，,x≤1，))所以x＝1，从而函数的定义域为{x|x＝1}．
(4)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，eq \f(x＋1,x2－1)有意义，所以函数的定义域是{x|x≠±1}．
eq \a\vs4\al()
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝eq \f(2,x＋1)＋eq \r(3－x)的定义域为( )
A．(－∞，－1)∪(－1，3] B．(－∞，3]
C．(－1，3] D．(－∞，－1)
解析：选A 要使函数f(x)＝eq \f(2,x＋1)＋eq \r(3－x)有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,3－x≥0，))解得x≤3且x≠－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，3]．故选A.
2．f(x)＝(x－1)0＋ eq \r(\f(2,x＋1))的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．R D．(－1，1)∪(1，＋∞)
解析：选D 要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，))∴x>－1且x≠1，∴定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．
[例3] (链接教科书第53页练习1题)(1)已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．
(2)求下列函数的值域：
①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
③y＝eq \f(3x－1,x＋1)；④y＝2x－eq \r(x－1).
（1）[解析] ∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).
[答案] eq \f(1,3) eq \f(1,7)
（2）[解] ①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．
③(分离常数法)y＝eq \f(3x－1,x＋1)＝eq \f(3x＋3－4,x＋1)＝3－eq \f(4,x＋1).
∵eq \f(4,x＋1)≠0，∴y≠3，
∴y＝eq \f(3x－1,x＋1)的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．
④(换元法)设t＝eq \r(x－1)，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(15,8)，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,8)，＋∞)).
[母题探究]
1．(变条件)在本例(1)条件下，若f(b)＝eq \f(1,2)，求b的值．
解：由f(b)＝eq \f(1,1＋b)＝eq \f(1,2)，得b＝1.
2．(变设问)在本例(1)条件下，判断点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4)))是否在函数f(x)的图象上？
解：由f(x)＝eq \f(1,1＋x)知f(3)＝eq \f(1,4)，故点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4)))在f(x)的图象上．
eq \a\vs4\al()
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域常用的4种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
[跟踪训练]
1．设f(x)＝eq \f(x2－1,x2＋1)，则eq \f(f（2）,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝( )
A．1 B．－1
C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
解析：选B eq \f(f（2）,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝eq \f(\f(22－1,22＋1),\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1))＝eq \f(\f(3,5),\f(－\f(3,4),\f(5,4)))＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))＝－1.
2．函数f(x)＝eq \f(1,1＋x2)(x∈R)的值域是( )
A．[0，1] B．[0，1)
C．(0，1] D．(0，1)
解析：选C 因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以03．函数f(x)＝eq \f(x2－3x＋2,x2－1)的值域为________．
解析：f(x)＝eq \f(x2－3x＋2,x2－1)＝eq \f(（x－2）（x－1）,（x＋1）（x－1）)
＝eq \f(x－2,x＋1)＝1－eq \f(3,x＋1)(x≠±1)．
∵eq \f(3,x＋1)≠0，∴y≠1，
又∵x≠1，∴y≠－eq \f(1,2)，
∴函数值域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y≠1，且y≠－\f(1,2))))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y≠1，且y≠－\f(1,2)))))
抽象函数与复合函数
一、概念
1．抽象函数的概念
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
2．复合函数的概念
若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫作中间变量，t＝g(x)叫作内层函数，y＝f(t)叫作外层函数．
[说明] 由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．
二、结论
定义域
理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；
(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；
(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；
(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．
[迁移应用]
1．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域
[例1] 已知函数f(x)＝eq \r(－x2＋2x＋3)，则函数f(3x－2)的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(5,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(5,3)))
C．[－3，1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
[思路点拨] 解题的关键是求出函数y＝f(x)中x的范围，这个范围即为3x－2的范围，建立不等式求出自变量x的范围即可．
[解析] 由－x2＋2x＋3≥0，
解得－1≤x≤3，
即函数f(x)的定义域为[－1，3]．
由－1≤3x－2≤3，解得eq \f(1,3)≤x≤eq \f(5,3)，
则函数f(3x－2)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(5,3))).
[答案] A
2．已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域
[例2] 已知f(x2－1)定义域为[0，3]，则f(x)的定义域为________．
[思路点拨] 定义域是指自变量的取值范围，则f(x2－1)中x∈[0，3]，求出x2－1的范围，这个范围即为f(x)的定义域．
[解析] 根据f(x2－1)定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，
∴x2∈[0，9]，∴x2－1∈[－1，8]．
故f(x)的定义域为[－1，8]．
[答案] [－1，8]
3．已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域
[例3] 若函数f(x＋1)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))，则函数f(x－1)的定义域为________．
[思路点拨] 由f(x＋1)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))，即－eq \f(1,2)≤x≤2，可求得eq \f(1,2)≤x＋1≤3，也就是f(x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，由此可推出eq \f(1,2)≤x－1≤3，进而求出x的范围即为f(x－1)的定义域．
[解析] 由题意知－eq \f(1,2)≤x≤2，则eq \f(1,2)≤x＋1≤3，即f(x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，∴eq \f(1,2)≤x－1≤3，解得eq \f(3,2)≤x≤4.
故f(x－1)的定义域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4)).
[答案] eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))
1．设集合M＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}，N＝{y|y(y－3)≤0}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则函数f(x)的图象可以是( )
解析：选B 集合M＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，N＝{y|y(y－3)≤0}＝{y|0≤y≤3}．由此排除选项A、D.由函数的定义知，每一个x的值只能唯一对应一个y值，故排除选项C.故选B.
2．设f(x)＝|x－1|－|x|，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))等于( )
A．－eq \f(1,2) B．0
C．1 D.eq \f(1,2)
解析：选C feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝f(0)＝|0－1|－|0|＝1.
3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的值域为________．
解析：由题图易知函数的值域为[－4，3]．
答案：[－4，3]
4．函数f(x)＝eq \f(5x＋4,x－1)的定义域为________，值域为________．
解析：函数有意义，则x≠1，故定义域为{x∈R|x≠1}．
∵f(x)＝eq \f(5x＋4,x－1)＝eq \f(5（x－1）＋9,x－1)＝5＋eq \f(9,x－1)，且eq \f(9,x－1)≠0，
∴y≠5，∴函数的值域是{y∈R|y≠5}．
答案：{x∈R|x≠1} {y∈R|y≠5}
新课程标准解读
核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，会判断两个函数是否为同一函数
数学抽象
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用
数学抽象、数学建模
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域
数学抽象、数学运算
函数的定义
给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
集合A称为函数的定义域，x称为自变量
值域
与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域
函数的概念与判断
函数的定义域
函数值(值域)问题