专题1.4二元一次方程组精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2021-2022学年七年级数学下学期期末考试高分直通车【人教版】

2021-2022学年七年级下学期期末考试高分直通车（人教版）

            专题1.4二元一次方程组（知识梳理+典例剖析+变式训练）

【知识梳理】

1. 二元一次方程：

（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的         都是  ，像这样的方程叫做二元一次方程

（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是      方程．②方程中共含有     未知数．③所有                ．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．

（3）二元一次方程有     解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．

2.二元一次方程组的定义：

（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有           的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．

3.二元一次方程组的解法：

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用              的代数式表示出来．②将变形后的关系式     另一个方程，消去一个未知数，得到一个          方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数                ．②把两个方程的两边分别           ，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．

4.二元一次方程组的应用

（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）      ：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）      ：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）        ：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）     ．（5）         ：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．

【典例剖析】

考点1 二元一次方程（组）的定义

【例1】（2020秋•项城市期末）下列是二元一次方程的是（　　）

A．3x﹣6＝x B．2x﹣3y＝x2 C． D．3x＝2y

【变式1-1】（2021春•武冈市校级月考）下列属于二元一次方程组的是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式1-2】（2020秋•昌图县期末）若关于x，y的方程2x|n|+3ym﹣2＝0是二元一次方程，则m+n＝　   　．

【变式1-3】（2020春•越秀区校级月考）若（m﹣1）x|m|+2y＝6是关于x，y的二元一次方程，则m的值是　   　．

【变式1-4】（2020春•涪城区期末）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　   　．

考点2 二元一次方程（组）的解

【例2】（2021春•朝阳区校级月考）关于x，y的二元一次方程3x﹣2y＝5的解有（　　）

A． B． C． D．

【变式2-1】（2020秋•渝中区校级期末）若关于x、y的方程ax+y＝2的一组解是，则a的值为（　　）

A．﹣1 B． C．1 D．2

【变式】（2021春•海珠区月考）方程2x+y＝9在正整数范围内的解有（　　）

A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个

【变式2-2】（2020秋•成都期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则k的值是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

【变式2-3】（2019秋•温江区校级期末）若是方程组的解，则a、b的值为（　　）

A．a＝2，b＝4 B．a＝3，b＝2 C．a＝4，b＝2 D．a＝4，b＝1

考点3解二元一次方程组

【例3】（2021春•朝阳区校级月考）解方程组：

（1）（代入法）；

（2）（加减法）．

【变式3-1】（2019秋•锦江区校级期末）二元一次方程2x﹣y＝1有无数多个解，下列四组值中是该方程的解是（　　）

A． B． C． D．

【变式3-2】（2021春•天河区校级月考）把方程2x﹣y＝1写成用含x的代数式表示y的形式是（　　）

A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．x D．x

【变式3-3】（2020•北辰区二模）方程组的解是（　　）

A． B． C． D．

【变式3-4】（2020秋•丘北县期末）二元一次方程x+3y＝4有一组解互为相反数，则y的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．0 D．2

【变式3-5】（2021春•北碚区校级月考）解下列方程组：

（1）．

（2）．

考点4整体思想解方程组

【例4】（2020秋•青山区期末）若方程组的解中x+y＝16，则k等于（　　）

A．15 B．18 C．16 D．17

【变式4-1】（2020秋•武侯区校级期中）已知，则a+b＝（　　）

A．2 B． C．3 D．

【变式4-2】（2020春•宜宾期末）已知方程组，x与y的值之和等于1，则k的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4

【变式4-3】（2019•贵阳模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则a+4b的值为（　　）

A． B． C．1 D．3

考点5同解方程组

【例5】（2020秋•南海区期末）已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（　　）

A． B． C． D．

【变式5-1】（2020春•和平区期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么的平方根是（　　）

A．0 B．±1 C． D．±2

【变式5-2】（2019春•永春县期中）已知方程组和有相同的解，则a﹣2b的值为（　　）

A．15 B．14 C．12 D．10

【变式5-3】（2019春•潮南区期末）已知方程组与同解，则m+n等于（　　）

A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1

【变式5-4】（2019秋•兰州期末）若关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．

（1）求这个相同的解；

（2）求m﹣n的值．

考点6由实际问题抽象出二元一次方程

【例6】（2021•闽侯县模拟）今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则下列等式成立的是（　　）

A．xy＝yx B．yy＝xx 

C．xy＝yx D．yy＝xx

【变式6-1】（2020•杭州模拟）某影院昨天甲，乙两种电影票共售出203张，甲票售出x张，每张35元，乙票每张20元，票房总额y，则（　　）

A．15x﹣y+4060＝0 B．x﹣15y+4060＝0 

C．15x+y+4060＝0 D．x﹣15y﹣4060＝0

【变式6-2】（2019•拱墅区校级模拟）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得+5分，每答错一题得﹣3分，不答的题得﹣1分．已知欢欢这次竞赛得了72分，设欢欢答对了x道题，答错了y道题，则（　　）

A．5x﹣3y＝72 B．5x+3y＝72 C．6x﹣2y＝92 D．6x+2y＝92

【变式6-3】（2020春•南岗区期末）一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军196千米，如果设第一天每小时行军x千米，第二天每小时行军y千米，依题意，可列方程为　   　．

【变式6-4】（2021春•拱墅区校级月考）买5kg苹果和3kg梨共需23元，分别求苹果和梨的单价．设苹果的单价x元/kg，梨的单价y元/kg，可列方程：　   　．

考点7二元一次方程的应用

【例7】（2021•绥化模拟）为了更好地开展阳光大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都买），该班级的购买方案共有（　　）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

【变式7-1】（2020秋•盐田区期末）把一根长7m的钢管截成规格为2m和1m的钢管（要求两种规格至少有一根）．在不造成浪费的情况下，不同的截法有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

【变式7-2】（2021•宁波模拟）某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（　　）

A．15种 B．11种 C．5种 D．3种

【变式7-3】（2020春•牡丹江期末）暑假期间，26名女教师去外地培训，在宾馆住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们的租住方案共有（　　）

A．6种 B．5种 C．4种 D．3种

【变式7-4】（2020春•环江县期末）将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的零钱，兑换方案有（　　）

A．4种 B．5种 C．6种 D．7种

考点8二元一次方程组的应用

【例8】（2021春•天心区月考）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．

（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？

（2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．

【变式8-1】（2021春•香坊区校级月考）某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A、B两种品牌的足球，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元．

（1）求购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元？

（2）该中学决定购买A、B两种品牌足球共50个，恰商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比原来提高8%，B品牌足球按原售价的九折出售，如果此次购买A、B两种品牌足球总费用为3060元，那么该中学购进B品牌足球多少个？

【变式8-2】（2020秋•罗湖区期末）某景点的门票价格如下表：

某校八年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1828元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费1020元．

（1）两个班各有多少名学生？

（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？

【变式8-3】（2021•黄石模拟）学校准备组织同学参加研学活动，需要租用客车，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位．

（1）求参加活动的同学人数．

（2）已知租用45座客车的租金为每辆500元，60座客车的租金为每辆600元．公司经理问：“你们准备怎样租车？”甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，这样没有空座位，不会浪费”；乙同学说：“我的方案是只租用60座的客车，因为60座的客车每个座位单价少，虽然有空位，但总体可以更省钱”，如果是你，从经济角度考虑，你会如何设计租车方案，并说明理由．

【变式8-4】（2021春•九龙坡区校级月考）2月8日，新世纪超市举办大型年货节．此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元．购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同．

（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）该超市从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元．出售时，A种商品在进价的基础上加价30%进行标价；B商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？

（3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价6元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了120元，则B商品按标价售出多少件？