专题5.11 《相交线与平行线》几何模型1（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题5.11 《相交线与平行线》几何模型1（知识讲解）

几何模型1：M型模型（也称“猪蹄模型”）

图 一

几何模型2：铅笔头模型

图二

几何模型3：鸡翅模型

图三

几何模型4：折鸡翅模型

图四

几何模型5：多个M型模型

证明思路参考几何模型1

几何模型6：多个铅笔头模型

证明思路参考几何模型2

类型一、M型模型 

1（2020·宁波市惠贞书院七年级期中）如图，，设，那么，，的关系式______．

【答案】

【分析】

过作，过作，根据平行线的性质可知，然后根据平行线的性质即可求解；

解：如图，过作，过作，

∴，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点拨】本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；

举一反三：

【变式1】（2020·四川成都市·天府四中七年级期中）如图，，则____________________．

【答案】

【分析】过点做的平行线，利用平行线的性质，即可证明．

解：过点做的平行线

，

又

又

.

故答案为：．

【点拨】本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线．

【变式2】（2019·辽宁大连市·七年级期末）阅读材料：

如图1，点是直线上一点，上方的四边形中，，延长，，探究与的数量关系，并证明.

小白的想法是：“作（如图2），通过推理可以得到，从而得出结论”.

请按照小白的想法完成解答：

拓展延伸：

保留原题条件不变，平分，反向延长，交的平分线于点（如图3），设，请直接写出的度数（用含的式子表示）.

【答案】阅读材料：，见解析；拓展延伸：.

 【分析】（1）作，，，由平行线性质可得，结合已知，可证，进而得到，从而，，将代入可得.

（2）过H点作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，结合（1）的结论和CG平分∠ECD可得∠PHC =∠FCH =120°-，即可得.

   解：【阅读材料】

作，，（如图1）.

∵，

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

∴.

∵，

∴.

∵，

∴.

∴，.

∴.

∵，

∴.

【拓展延伸】

结论：.

理由：如图，作，过H点作HP∥MN，

∴∠PHA=∠MAH=，

由（1）得FC∥MN，

∴FC∥HP，

∴∠PHC=∠FCH，

∵,CG平分∠ECD，

∴∠ECG=20°+，

∴∠FCH=

=180°-()-(20°+)

=120°-

∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=+（120°-）=120°-

即：.

【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．

类型二、铅笔头型模型

2 （2020·山东聊城市·七年级期末）直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．

（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α＝50°，则∠2＝　   　°．

（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；

（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．

【答案】（1）50；（2）∠α＝∠1+∠2，证明见解析；（3）不成立．理由见解析．

【分析】

（1）由题意直接根据平行线的性质可直接求解；

（2）由题意过P作PG∥AB，则PG∥AB∥CD，利用平行线的性质即可求解；

（3）根据题意过P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，利用平行线的性质进行分析即可求解．

 解：（1）∵AB∥CD，∠α＝50°

∴∠2＝∠α＝50°，

故答案为：50；

（2）∠α＝∠1+∠2．

证明：过P作PG∥AB，

∵AB∥CD，

∴PG∥AB∥CD，

∴∠2＝∠EPG，∠1＝∠FPG，

∵∠α＝∠EPF＝∠EPG+∠FPG，

∴∠α＝∠1+∠2；

（3）不成立．

理由：过P作PH∥AB，

∵AB∥CD，

∴PH∥AB∥CD，

∴∠2＝∠EPH，∠1＝∠FPH，

∵∠α＝∠EPF＝∠EPH﹣∠FPH，

∴∠α＝∠2﹣∠1，

故不成立．

【点拨】本题主要考查平行线的性质，注意掌握并灵活运用平行线的性质是解题的关键．

举一反三：

【变式1】（2020·河北邢台市·八年级月考）如图1，四边形为一张长方形纸片．

（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．

（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．

（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．

（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．

【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．

【分析】

（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．

证明：（1）过E作EH∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；

（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．

【点拨】题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．

举一反三：

【变式2】（2020·湖北随州市·七年级期末）已知，点，分别在直线，上，点在直线与之间，．

（1）如图1，求证：．

阅读并补齐下列推理过程

过点作，因为，

所以_____（______________）

所以，（_______________________）

所以．

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，在学习中要注意体会．

（2）如图2，点，在直线上，，平分，

求证：．

（3）在（2）的条件下，过点作平分，请直接写出使时，与之间应具备的关系．

【答案】（1），平行于同一条直线的两条直线平行，两条直线平行内错角相等；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）添加平行线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，再利用平行线的性质进行角的等量代换；

（2）与（1）同理，通过添加平行线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，再利用平行线的性质、角平分线的定义进行角的等量代换；

（3）在（2）的条件下，根据已有的数量关系，加上平行线得到的内错角相等进行等量代换即可．

 解：（1），

平行于同一条直线的两条直线平行，

两条直线平行内错角相等；

（2）过点作，

，

，，

由（1）知，，

又，

，

，

，

∴，

平分，

，

，

（3），理由如下：

∠DBC＝∠DBE＋∠EBF＋∠FBC，

∵BF∥AM，

∴∠EBF＝∠DEB，

∵BF平分∠CBE，

∴∠CBF＝∠EFB，

而由（2）知：∠DBE＝∠DEB，

∴∠DBC＝3∠FBC，

∵CN∥AM，

∴CN∥BF，

∴∠FBC＝∠BCN，∠DBC＝3∠BCN，

而∠BAM＝∠DBC，

∴∠BAM＝3∠BCN

【点拨】本题考查平行线的推论和性质，熟练掌握平行线的性质，并灵活进行等量代换是关键．