高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课文内容课件ppt

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一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系，例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法，这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？
若已知三角形的两边及其夹角，如何求其他的边角呢？下面我们来研究一下这个问题。
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.
在△ABC中，若已知边a，b和它们的夹角C，求第三条边c.
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍.
（1）已知两边一角求边；(SAS)
（2）已知三边求角.(SSS)
步骤：1.求第三边；（余弦定理） 2.求已知边中较小边所对的角； 3.求第三角（内角和为π）
已知两边及夹角求边；(SAS)
例2. 在△ABC中，已知 ， ，求最大角.
已知三边求角.(SSS)
已知三角形三边求角，可先用余弦定理求两个角，进而求出第三个角．
【思路点拨】　在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大，然后根据已知三边可用余弦定理求三角．
在△ABC中，已知a＝7,b＝3,c＝5，求最大角
例3 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a 、b 、c，若AB∙AC=BA∙BC=1.(1)求证：A=B;(2)求边长c的值.(3)若|AB+AC|= ,求△ABC的面积.
训练1．在△ABC中：(1)已知b＝8,c＝3,A＝60°,求a；(2)已知a＝20,b＝29,c＝21,求B；(3)已知a＝3 ,c＝2,B＝150°,求b；
(4)已知a＝2，b＝ 求A
在△ABC中，acs A＋bcs B＝ccs C，试判断三角形的形状．【思路点拨】　利用余弦定理把边与角的关系转化为边与边的关系．
通分整理得：a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0.展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理，知△ABC是直角三角形．
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．
在△ABC中， bcs A＝acs B ，试判断三角形的形状．
1.余弦定理的主要作用是已知两边一角求边，或已知三边求角，所得结论是唯一的.同时，利用余弦定理也可以实现边角转化.
2.余弦定理及其推论共有六个基本公式，应用时要注意适当选取，有时可结合正弦定理求解.
1．余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量：(1)已知两边与它们的夹角，可以求得第三边；(2)已知两边与其中一边的对角，可以代入余弦定理，看成关于另一边的二次方程，从而解得另一边；(3)已知三角形的三边可以求得三角形的三个角．从这里可以看出，利用余弦定理解三角形时，条件中必须至少知道两边．