高考数学(文数)一轮复习课时练习：6.2《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．设x，y满足约束条件则z＝2x－3y的最小值是(　　)

A．－7　　　　　　　 B．－6

C．－5  D．－3

解析：由约束条件作出可行域如图中阴影区域．将z＝2x－3y化为y＝x－，作出直线y＝x并平移使之经过可行域，易知直线经过点C(3,4)时，z取得最小值，故zmin＝2×3－3×4＝－6.

答案：B

2．设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为(　　)

A．10  B．8

C．3  D．2

解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.

答案：B

3．已知变量x，y满足：则z＝()2x＋y的最大值为(　　)

A.  B．2

C．2  D．4

解析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，令m＝2x＋y，则当m取得最大值时，z＝()2x＋y取得最大值．由图知直线m＝2x＋y经过点A(1,2)时，m取得最大值，所以zmax＝()2×1＋2＝4，故选D.

答案：D

4．已知实数x，y满足则z＝2|x－2|＋|y|的最小值是(　　)

A．6  B．5

C．4  D．3

解析：画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分，其中A(2,4)，B(1,5)，C(1,3)，∴x∈[1,2]，y∈[3,5]．

∴z＝2|x－2|＋|y|＝－2x＋y＋4，当直线y＝2x－4＋z过点A(2,4)时，直线在y轴上的截距最小，此时z有最小值，∴zmin＝－2×2＋4＋4＝4，故选C.

答案：C

5．设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为(　　)

A．8  B．7

C．2  D．1

解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线y＝－x，平移直线y＝－x，当直线y＝－x＋经过点C时在y轴上的截距取得最大值，即z取得最大值，由得，即C(3,2)，代入z＝x＋2y得zmax＝3＋2×2＝7，故选B.

答案：B

6．不等式组的解集记为D，有下面四个命题：

p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；

p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；

p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；

p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.

其中的真命题是(　　)

A．p2，p3  B．p1，p4

C．p1，p2  D．p1，p3

解析：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.

答案：C

7．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(　　)

A．3  B．－3

C．1   D.

解析：作出可行域，如图所示的阴影部分，当直线z＝2x＋y过点A(2，－1)时，z最大是3，故选A.

答案：A

8．若实数x，y满足：|x|≤y≤1，则x2＋y2＋2x的最小值为(　　)

A.  B．－

C.   D.－1

解析：作出不等式|x|≤y≤1表示的可行域，如图．

x2＋y2＋2x＝(x＋1)2＋y2－1，(x＋1)2＋y2表示可行域内的点(x，y)到点(－1,0)距离的平方，

由图可知，(x＋1)2＋y2的最小值为2＝，所以x2＋y2＋2x的最小值为－1＝－.选B.

答案：B

9．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a的取值范围为(　　)

A.   B.

C．(0,1)   D.

解析：约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：ax＋y＝0，过点(1,1)作l的平行线l′，要满足题意，则直线l′的斜率介于直线x＋2y－3＝0与直线y＝1的斜率之间，因此，－<－a<0，即0<a<.故选B.

答案：B

10．实数x，y满足则z＝|x－y|的最大值是(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：依题意画出可行域如图中阴影部分所示，令m＝y－x，则m为直线l：y＝x＋m在y轴上的截距，由图知在点A(2,6)处m取最大值4，在C(2,0)处取最小值－2，所以m∈[－2,4]，所以z的最大值是4，故选B.

答案：B

11．若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)

A．0  B．3

C．4  D．5

解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，

由解得故当目标函数z＝2x＋y经过点A(1,2)时，z取得最大值，zmax＝2×1＋2＝4.故选C.

答案：C

12．若变量x、y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为(　　)

A.  B.

C.  D．5

解析：作出不等式组对应的平面区域如图，

设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方，

由图知C、D间的距离最小，此时z最小．

由，得即C(0,1)，

此时zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5，故选D.

答案：D

13．若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

解析：约束条件对应的平面区域是以点(1，)、(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y＝－x＋z经过点(1，)时，z取得最大值.

答案：

14．若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．

解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时，zmin＝3－2×4＝－5.

答案：－5

15．已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值等于__________．

解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z＝ax＋y能和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.

答案：－1

16．设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.

答案：－10

B组　能力提升练

1．在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x、y满足上述约束条件，则z＝的最小值为(　　)

A．－1  B．－

C.  D．－

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知πr2＝π，解得r＝2，z＝＝1＋，易知表示可行域内的点(x，y)与点P(－3,2)的连线的斜率，由图可知当点(x，y)与点P的连线与圆x2＋y2＝r2相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0(舍)，

所以zmin＝1－＝－，故选D.

答案：D

2．已知区域D：的面积为S，点集T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐标系中对应区域的面积为S，则k的值为(　　)

A.   B.

C．2  D．3

解析：作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示．

直线y＝kx＋1过定点A(0，1)，点集T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐标系中对应区域的面积为S，则直线y＝kx＋1过BC中点E.由解得即B(2,3)．

又C(1,0)，∴BC的中点为E，则＝k＋1，解得k＝，故选A.

答案：A

3．设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　)

A．－5  B．3

C．－5或3  D．5或－3

解析：联立方程，解得，代入x＋ay＝7中，

解得a＝3或－5，当a＝－5时，z＝x＋ay的最大值是7；

当a＝3时，z＝x＋ay的最小值是7，故选B.

答案：B

4．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)

A.或－1  B．2或

C．2或1  D．2或－1

解析：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.

答案：D

5．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则 a2＋b2的最大值为 (　　)

 A．5  B．29

C．37  D．49

解析：平面区域Ω为如图所示的阴影部分，因为圆心C(a，b)∈Ω，且圆C与x轴相切，所以点C在如图所示的线段MN上，线段MN的方程为y＝1(－2≤x≤6)，由图形得，当点C在点N(6,1)处时，a2＋b2取得最大值62＋12＝37，故选C.

答案：C

6．已知x，y满足约束条件目标函数z＝6x＋2y的最小值是10，则z的最大值是(　　)

A．20  B．22

C．24  D．26

解析：由z＝6x＋2y，得y＝－3x＋，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y＝－3x＋经过点C时，直线的纵截距最小，即z＝6x＋2y取得最小值10，由解得即C(2，－1)，将其代入直线方程－2x＋y＋c＝0，得c＝5，即直线方程为－2x＋y＋5＝0，平移直线3x＋y＝0，当直线经过点D时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由得

即D(3,1)，将点D的坐标代入目标函数z＝6x＋2y，得zmax＝6×3＋2＝20，故选A.

答案：A

7．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　)

A．2  B．－2

C.  D．－

解析：作出线性约束条件的可行域．当k≥0时，如图(1)所示，显然此时z＝y－x无最小值．当k<－1时，z＝y－x取得最小值2；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k<0时，如图(2)所示，此时可行域为点A(2,0)，B，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点B时，有最小值，即－＝－4，即k＝－.故选D.

答案：D

8．已知P(x，y)为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z＝2x－y的最大值是(　　)

A．6  B．0

C．2  D．2

解析：由作出可行域如图，

易求得A(a，－a)，B(a，a)，

由题意知S△OAB＝·2a·a＝4，得a＝2.

∴A(2，－2)，

当y＝2x－z过A点时，z最大，zmax＝2×2－(－2)＝6.故选A.

答案：A

9．若x，y满足约束条件则z＝3x＋5y的取值范围是(　　)

A．[3，＋∞)  B．[－8,3]

C．(－∞，9]  D．[－8,9]

解析：作出可行域，如图所示的阴影部分，由z＝3x＋5y，得y＝－x＋z，z表示直线y＝－x＋z在y轴上的截距，截距越大，z越大．

由图可知，当z＝3x＋5y经过点A时z最小；当z＝3x＋5y经过点B时z最大，由可得B(3,0)，此时zmax＝9，由可得A(－1，－1)，此时zmin＝－8，所以z＝3x＋5y的取值范围是[－8,9]．

答案：D

10．已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)

A．[－1,0]  B．[0,1]

C．[1,3]  D．[1,4]

解析：作出点M(x，y)满足的平面区域，如图中阴影部分所示，易知当点M为点C(0,2)时，·取得最大值，即为(－1)×0＋2×2＝4，当点M为点B(1,1)时，·取得最小值，即为(－1)×1＋2×1＝1，所以·的取值范围为[1,4]，故选D.

答案：D

11．已知x，y满足约束条件若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是(　　)

A．－  B．1

C．2  D．5

解析：作出可行域，如图所示的阴影部分．

∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时， z取最大值，

由，解得即A(1,2)，

∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.

答案：B

12．已知a>0，实数x，y满足，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.

解析：根据题意，如图，在坐标系中画出相应的区域的边界线x＝1，x＋y＝3，再画出目标函数取得最小值时对应的直线2x＋y＝1，从图中可以发现，直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点为(1，－1)，从而有点(1，－1)在直线y＝a(x－3)上，代入可得a＝.

答案：

13．动点P(a，b)在区域内运动，则ω＝的取值范围是________．

解析：画出可行域如图，ω＝＝1＋，

设k＝，则k∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，

所以ω＝的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)

14．若x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．

解析：画出可行域(如图所示)，∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，

将直线y＝－2x向上平移，经过点B时z取得最大值．

由

解得当动直线2x＋y－z＝0过点B(3,2)时，zmax＝2×3＋2＝8.

答案：8

15．若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．

解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π()2＝，故所求概率P＝＝.

答案：