高考数学(文数)一轮复习课时练习：5.1《数列的概念与简单表示法》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a4的值为(　　)

A．4　　　　　　　　　 B．6

C．8  D．10

解析：a4＝S4－S3＝20－12＝8.

答案：C

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)

A．2n－1  B.n－1

C.n－1  D.

解析：由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝，

而S1＝a1＝1，所以Sn＝n－1，故选B.

答案：B

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，则an＝(　　)

A．2n＋1  B．2n

C．2n－1  D．2n－2

解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)，∴an＋1＝2an，

∵a1＝2a1－4，∴a1＝4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，

∴an＝4·2n－1＝2n＋1，故选A.

答案：A

4．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，

∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.

答案：C

5．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝__________.

解析：∵Sn＝，a4＝32，∴－＝32，∴a1＝.

答案：

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a3＋a4＝________.

解析：当n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a3＋a4＝22＋23＝12.

答案：12

7．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.

(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

解析：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.

由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.

(2)由题设知a1＝1.

当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，

整理得an＝an－1.于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，

an－1＝an－2，an＝an－1.

将以上n个等式两端分别相乘，

整理得an＝.显然，当n＝1时也满足上式．

综上可知，{an}的通项公式an＝.

8．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.

(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

 (2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．

解析：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.

因为n∈N*，所以n＝2,3，

所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.

因为an＝n2－5n＋4＝2－，

由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.

(2)由对于n∈N*，都有an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.

所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．

B组　能力提升练

1．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝(　　)

A．21  B．22

C．23  D．24

解析：由3an＋1＝3an－2得an＋1＝an－，则{an}是等差数列，又a 1＝15，∴an＝－n.∵ak·ak＋1<0，∴·<0，∴<k<，∴k＝23.故选C.

答案：C

2．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝(n≥2)，则这个数列的第10项等于(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：∵＝，∴1－＝－1，即＋＝2，∴＋＝，

故是等差数列．又∵d＝－＝，∴＝＋9×＝5，故a10＝.

答案：C

3．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，Sn－1＋(n－1)an－1＝2，

∴(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而···…·＝··…·，则an＝，

当n＝1时上式成立，所以an＝，故选B.

答案：B

4．观察下列各图，并阅读图形下面的文字，则10条直线相交，交点的个数最多是(　　)

A．40  B．45

C．50  D．55

解析：设n条直线的交点个数为an(n≥2)，则

累加得a10－a2＝2＋3＋…＋9，a10＝1＋2＋3＋…＋9＝45.

答案：B

5．现定义an＝5n＋n，其中n∈，则an取最小值时，n的值为__________．

解析：令5n＝t>0，考虑函数y＝t＋，易知其在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当t＝1时，y的值最小，再考虑函数t＝5x，当0<x≤1时，t∈(1,5]，

则可知an＝5n＋n在(0,1]上单调递增，所以当n＝时，an取得最小值．

答案：

6．已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是__________．

解析：∵an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，

∴＝2，又a1＝1，∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，

即an＋1＝2×2n－1＝2n，∴a5＋1＝25，即a5＝31.

答案：31

7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝4Sn－1(n∈N*)．

(1)证明：an＋2－an＝4；

(2)求{an}的通项公式．

解析：(1)证明：∵anan＋1＝4Sn－1，

∴an＋1an＋2＝4Sn＋1－1，∴an＋1(an＋2－an)＝4an＋1，又an≠0，∴an＋2－an＝4.

(2)由anan＋1＝4Sn－1，a1＝1，求得a2＝3，

由an＋2－an＝4知，数列{a2n}和{a2n－1}都是公差为4的等差数列，

∴a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1，a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，∴an＝2n－1.

8．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和Sn满足Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2n－1(n≥3)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝log2，n∈N*，设数列{bn}的前n项和为Sn，当n为何值时，Sn有最大值？并求最大值．

解析：(1)由题意知Sn－Sn－1＝Sn－1－Sn－2＋2n－1(n≥3)，即an＝an－1＋2n－1(n≥3)，

∴an＝(an－an－1)＋…＋(a3－a2)＋a2＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋5

＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋1＋2

＝2n＋1(n≥3)，

经检验，知n＝1,2时，结论也成立，故an＝2n＋1.

(2)bn＝log2＝log2＝log228－2n＝8－2n，n∈N*，

当1≤n≤3时，bn＝8－2n>0；当n＝4时，bn＝8－2n＝0；

当n≥5时，bn＝8－2n<0.

故n＝3或n＝4时，Sn有最大值，且最大值为S3＝S4＝12.