辽宁省沈阳市重点高中联合体2022届高三下学期3月一模考试数学试题扫描版含答案
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2021-2022学年度下学期沈阳市重点高中联合体第一次模拟考试
数学答案
一、单选题
1-4. CADA 5-8. BDDC
二、多选
9. BCD 10.AB 11. BCD 12．ABD
三、填空
13. 14. 15.720 16.
四、解答
17(1)因为为正项等比数列，且，所以
又因为,所以即所以q=2或q=-1(舍）..............(1分）
又因为所以,所以, ......................(3分）
又因为所以,所以
综上所述 ..........................(5分）
(2)
因为...(6分）
所以 .........................(8分）
...........................(10分）
18(1)由题意得，X的所有可能取值为0,30,100， ............................................(1分）
，P(x=30)=0.6(1-0.8)=0.12,P(x=70)=0.60.8=0.48 ......................................(4分）
所以X的分布列为
X | 0 | 30 | 100 |
P | 0.4 | 0.12 | 0.48 |
.......................................................(6分）
（2）当小明先回答A类问题时，由（1）可得E（x）=00.4+300.12+1000.48=51.6 ....................(7分）
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能值为0、70、100
P（Y=0）=1-0.8=0.2；P（Y=70）=0.8（1-0.6）=0.32；P（Y=100）=0.80.6=0.48 ...................(9分）
所以Y的分布列为
Y | 0 | 70 | 100 |
P | 0.2 | 0.32 | 0.48 |
E（Y）=00.2+700.32+1000.48=70.4 ................................(11分）
因为70.451.6即E（Y）E（X），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题..(12分）
19（1）因为A+B+C=
所以
又因为
所以 .........................................(2分）
由正弦定理可得：
因为A，sinA0
所以 .......................................(4分）
所以又
所以 ...............................................(5分）
（2）法一：因为AC=BC，，所以为等边三角形且AB=AC=BC=1
设AD =m,则BD=1-m,由题意DP=AD=m，在中由余弦定理得 .............................(6分）
所以
所以
设BP=x(
所以, ( .................................(8分）
设t=2-x,(
所以 ................................(10分）
当且仅当即时取等号，
所以AD的最小值为 ................................(12分）
法二：
因为AC=BC，，所以为等边三角形且AB=AC=BC=1
设AD =m,则BD=1-m,由题意DP=AD=m，在中由余弦定理得 .............................(6分）
所以
所以
设BP=x(
所以, ( .................................(8分）
求导数可得 令m’=0 可得
可得当
当 ....................(10分）
所以当x=时，
所以AD的最小值为 ..........................(12分）
20(1)证明 由已知得AM＝1，AN＝2，∠A＝60°，
∴MN⊥AB，∴MN⊥A′M，MN⊥MB.
又∵MB∩A′M＝M，∴MN⊥平面A′BM.
又∵MN⊂平面BCNM，∴平面A′BM⊥平面BCNM. .............................................(5分）
(2)
法一A′M⊥BC，由(1)得A′M⊥MN，BC和MN是两条相交直线，∴A′M⊥平面BCNM.∴MB，MN，MA′两两垂直，∴以M为坐标原点，MB，MN，MA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系M－xyz，
则A′(0，0，1)，设P(2－a，a，0)，其中0<a≤
易得平面A′BM的一个法向量为n＝(0，1，0). .....................................(8分）
设直线PA′与平面A′BM所成的角为θ，则
sin θ＝|cos〈
解得a＝
∴不存在点P满足条件. ........................................................(12分）
法二A′M⊥BC，由(1)得A′M⊥MN，BC和MN是两条相交直线，∴A′M⊥平面BCNM.∴MB，MN，MA′两两垂直，∴以M为坐标原点，MB，MN，MA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系M－xyz，
假设线段BC上是否存在一点P，使直线PA′与平面A′BM所成角的正弦值为
并且设（0，则
又A’（0,0,1） B（2,0,0） C（）所以=（2,0，-1）+（-）
=（2-） ..............(7分）
又平面A'BM的法向量为
所以线面角的正弦== ..............(9分）
化简得3
解得 ..................(11分）
因为，所以线段BC上是不存在一点P，使直线PA′与平面A′BM所成角的正弦值为
21（1）由已知可得F（0,1），设点M关于x轴对称点为，则|MF|=|............................................(1分）
当m=2时，折线为|x-1|=2y,（不妨设N点在F点右侧），设
由可得3，即.............................................(3分）
所以..........................................................................................................................(4分）
故|MF|+|NF|=|=.......................(5分）
（2）法1由已知及（1）可知A（-2,0），B(2,0)，
不妨设直线x=my+1与椭圆相交于点
联立可得..................................................................................(6分）
所以,,可得................................................................(8分）
直线AM：
直线BN：..............................................................................................................................(9分）
联立两个直线方程消去y可得........................................................................(10分）
即......................................................................................................(11分）
所以x+2=-3(x-2),即x=1
即P点在定直线x=1上。...............................................................................................................................(12分）
法二由已知及（1）可知A（-2,0），B(2,0)，
不妨设直线x=my+1与椭圆相交于点
联立可得..................................................................................(6分）
所以,, ..............................................................(8分）
直线AM：
直线BN：..............................................................................................................................(9分）
联立两个直线方程消去y可得........................................................................(10分）
即.................................................(11分）
所以x+2=-3(x-2),即x=1
即P点在定直线x=1上。...............................................................................................................................(12分）
22（1）易知函数的定义域为（0， ..............................................(1分）
当a=e时带入f(x)可得
..................................(2分）
当;当
所以f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，）上单调递增
由此可得，f(x）的最小值为f(1)=e-e-eln1+e=e,无最大值; ..................(4分）
（2）法一：因为所以
讨论当时，f’(x)0,在（0，）上恒成立，所以f(x）在（0，）单调递增，
故可得函数f(x）至多只有一个零点，不符合题意 ..............................(6分）
当时，令,在单调递增，x
所以g(x)=0在有唯一的一个零点
令,设该方程的解为, ....................(8分）
则可得
x | (0,) | (,) |
f’(x) | ||
F(x) | 单调递减 | 单调递增 |
为了满足f(x)有两个零点，则有①
因为是方程的解，所以,两边取对数可得②
将②式代入①式可得,所以a的取值范围为 .....(10分）
且当由②式可得,f(1)=e-a+a=e,所以在(1,)上仅有一个零点；
又所以f(x)在(,)上有一个零点
综上，a的取值范围为（） . .........................................(12分)
法二：
令,所以
则函数f(x）的零点即等价于 (t>0) .........................................(8分）
令 令g’(t)=0 可得
t | (0,) | (,) |
g’(t) | ||
g(t) | 单调递增 | 单调递减 |
......................................(10分）
又，0
因此f(x)要想有两个零点 即 ....................................................(12分）
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