人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系课时训练

课时分层作业(二十五)　直线与圆锥曲线的位置关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知双曲线－＝1的右焦点为F，过点F作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A，O为坐标原点，则S△OAF＝(　　)

A．3　　　　　　　　 B．3

C．2   D．

D　[双曲线－＝1的右焦点为F(3,0)，F到渐近线x＋2y＝0的距离FA＝＝．

则AO＝＝＝2．

则S△OAF＝FA·OA＝××2＝．]

2．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为(　　)

A．48   B．56

C．64   D．72

A　[由消去y得，

x2－10x＋9＝0，∴x＝1或9，

∴或

∴|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，

∴|PQ|＝8，梯形APQB的面积为48，故选A．]

3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)

A．   B．

C．   D．

B　[椭圆的方程可化为＋＝1，

∴F(－，0)．

又∵直线AB的斜率为，

∴直线AB的方程为y＝x＋．

由得7x2＋12x＋8＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1·x2＝，

∴|AB|＝＝．]

4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　　)

A．4   B．8

C．16   D．32

B　[因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，

准线为x＝－2，

所以K(－2,0)，

设A(x0，y0)，如图所示，过点A向准线作垂线，垂足为B，

则B(－2，y0)．

因为|AK|＝|AF|，

又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，

所以由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，

得y＝(x0＋2)2，

即8x0＝(x0＋2)2，

解得x0＝2，y0＝±4，

所以S△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8．]

5．如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为(　　)

A．e－1   B．1－e

C．e2－1   D．1－e2

C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，＋＝1，＋＝1，作差得

＝，

所以kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1．]

二、填空题

6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝        ．

0或1　[当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，

当k≠0时，联立方程消y得：

k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，

由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，

∴k＝1．]

7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为        ．

6　[由＋＝1可得F(－1,0)．

设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，

当且仅当x＝2时，·取得最大值6．]

8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为        ．

　[设双曲线方程为－＝1(a＞0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为

y＝x，而kBF＝－．

∴·＝－1，整理得b2＝ac．

∴c2－a2－ac＝0．两边同除以a2，得e2－e－1＝0，

解得e＝或e＝(舍去)．]

三、解答题

9．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．

(1)求证：OA⊥OB；

(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．

[解]　(1)如图所示，由消去x得，ky2＋y－k＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－．

∵A，B在抛物线y2＝－x上，

∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2．

∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB．

(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0．

令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．

∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN

＝|ON||y1|＋|ON||y2|

＝|ON|·|y1－y2|，

∴S△OAB＝·1·

＝．

∵S△OAB＝，

∴＝，解得k＝±．

10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b>0)，离心率是，原点与C和直线x＝1的交点围成的三角形面积是．若直线l过点，且与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是顶点)，D是椭圆C的右顶点，求证∠ADB是定值．

[证明]　由题意可知：e＝＝＝，所以a2＝b2，由直线x＝1与椭圆相交，交点P(1，y)(y＞0)，由题意可知：×1×2y＝，解得y＝，将P代入椭圆方程：＋＝1，解得b2＝3，a2＝4，所以椭圆方程为＋＝1，即4y2＋3x2－12＝0．所以D点坐标为(2,0)，

当直线l的斜率不存在时，A，B，

∴·＝0，∴∠ADB＝．

当直线l的斜率存在时，设直线l：x＝my＋，

由

得(196＋147m2)y2＋84my－576＝0，

∵l与C有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴Δ＞0，且y1y2＝，y1＋y2＝，

∴x1＋x2＝＋，x1x2＝＋，

∵＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，·＝x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2＋4，

∴＋＝＝0，

∴∠ADB＝．综上，∠ADB＝．

11．(多选题)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是(　　)

A．抛物线的方程是x2＝2y

B．抛物线的准线是y＝－1

C．sin∠QMN的最小值是

D．线段AB的最小值是6

BC　[抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，

得抛物线的准线方程为y＝－，

点E(t,2)到焦点F的距离等于3，

可得2＋＝3，解得p＝2，

则抛物线C的方程为x2＝4y，所以A不正确；

抛物线的准线方程：y＝－1，所以B正确；

由题知直线l的斜率存在，F(0,1)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线l的方程为y＝kx＋1，

由消去y得x2－4kx－4＝0，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，

所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，

所以AB的中点Q的坐标为(2k,2k2＋1)，

|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋2＋2＝4k2＋4，

所以圆Q的半径为r＝2k2＋2，

在等腰△QMN中，

sin∠QMN＝＝＝1－≥1－＝，

当且仅当k＝0时取等号．

所以sin∠QMN的最小值为．所以C正确；

线段AB的最小值是：y1＋y2＋2＝4k2＋4≥4．

所以D不正确．]

12．点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴(　　)

A．相交　　　　　　　 B．相切

C．相离   D．位置由F确定

B　[如图，抛物线的焦点为F，M为PF的中点，准线是l：x＝－．作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么|PF|＝|PH|，且|QH|＝|OF|＝，作MN⊥y轴于N，则MN是梯形PQOF的中位线，即|MN|＝(|OF|＋|PQ|)＝|PH|＝|PF|，故以PF为直径的圆与y轴相切．]

13．(一题两空)椭圆＋＝1(a＞b＞0)第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e＝        ，当此三角形的面积是4，则b2＝        ．

－1　8　[如图，由△OPF为正三角形，可得P，代入椭圆方程，可得＋＝1，又b2＝a2－c2，得(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，

解得e＝＝－1，若S△OPF＝×c×c＝4，则c＝4，

a2＝＝＝16＋8，则b2＝a2－c2＝8．]

14．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为        ．

16　[因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．

由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－·(x－1)．

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，

所以|AB|＝·|x1－x2|

＝·

＝·＝．

同理可得|DE|＝4(1＋k2)．

所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)

＝4

＝8＋4≥8＋4×2＝16，

当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．]

15．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；

(2)若＝3，求|AB|．

[解]　(1)设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，

由题设可得x1＋x2＝．

由

可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，

则x1＋x2＝－．

从而－＝，得t＝－．

所以l的方程为y＝x－．

(2)由＝3可得y1＝－3y2．

由

可得y2－2y＋2t＝0．

所以y1＋y2＝2．

从而－3y2＋y2＝2，

故y2＝－1，y1＝3．

代入C的方程得x1＝3，x2＝．

故|AB|＝．