初中数学冀教版七年级下册第九章 三角形综合与测试当堂检测题

冀教版七年级数学下册第九章 三角形综合测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为60°，那么这个“特征三角形”的最大内角的度数是（       ）

A．80° B．90° C．100° D．120°

2、如图，已知为的外角，，，那么的度数是（       ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

3、将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（       ）

A．45° B．60° C．75° D．85°

4、若一个三角形的两条边的长为5和7，那么第三边的长可能是（       ）

A．2 B．10 C．12 D．13

5、如图，点D、E分别在∠ABC的边BA、BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为（        ）

A．42° B．48° C．52° D．58°

6、下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．3   4   8 B．4   4   10 C．5   6   10 D．5   6   11

7、下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）

A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，7

8、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外面时，此时测得∠1=112°，∠A=40°，则∠2的度数为（       ）

A．32° B．33° C．34° D．38°

9、定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．

下列说法正确的是（　　）

A．证法1用特殊到一般法证明了该定理

B．证法1只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理

C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

D．证法2用严谨的推理证明了该定理

10、如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A＝32°，∠B＝30°，则∠ACE的大小是（       ）

A．63° B．58° C．54° D．56°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为________cm2（结果保留一位小数）．

2、不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是_________

3、△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，则∠A＝_____．

4、我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则_______°．

5、已知ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝a，则a的取值范围是 ___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、（1）先化简，再求值：，其中a＝4．

（2）若a，b，c分别为三角形的三边，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|

2、根据题意画出图形，并填注理由

证明：三角形的内角和等于180°．

已知：△ABC

求证：∴∠A＋∠B＋∠C＝180°

证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE BA．

∵CE BA（辅助线）

∴∠B＝∠ECD（                      ）

∠A＝∠ACE（                      ）

∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°（                      ）

∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（                      ）

3、如图，ABCD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，

完成下面的证明：

∵MG平分∠BMN，

∴∠GMN＝∠BMN（              ），

同理∠GNM＝∠DNM．

∵ABCD

∴∠BMN＋∠DNM＝________（         ）．

∴∠GMN＋∠GNM＝________．

∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________，

∴∠G＝________．

4、概念学习 ：已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．

理解应用

（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写：“真命题”；反之，则写“假命题”

①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；

②任意的三角形都存在等角点．          

（2）如图①中，点P是锐角三角形△ABC的等角点，若∠BAC=∠PBC，探究图中么∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．

5、如图，在中（），，边上的中线把的周长分成和两部分，求和的长．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最大内角即可．

【详解】

解：由题意得：α=2β，α=60°，则β=30°，

180°-60°-30°=90°，

故选B．

【点睛】

此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．

2、B

【解析】

【分析】

根据三角形的外角性质解答即可．

【详解】

解：∵∠ACD＝60°，∠B＝20°，

∴∠A＝∠ACD−∠B＝60°−20°＝40°，

故选：B．

【点睛】

此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．

3、C

【解析】

【分析】

先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．

【详解】

解：如图:

∵∠ACD=90°、∠F=45°，

∴∠CGF=∠DGB=45°，

∴∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°．

故选C．

【点睛】

本题主要考查三角形的外角的性质，掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质是解答本题的关键．

4、B

【解析】

【分析】

根据在三角形中三边关系可求第三边长的范围，再选出答案．

【详解】

解：设第三边长为x，则

由三角形三边关系定理得7-5＜x＜7+5，即2＜x＜12．

只有选项B符合题意，

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

5、B

【解析】

【分析】

根据两直线平行，同位角相等可得，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．

6、C

【解析】

【分析】

根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断求解即可．

【详解】

解：A．∵3+4＜8，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

B．∵4+4＜10，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

C．∵5+6＞10，

∴能组成三角形，故本选项符合题意；

D．∵5+6=11，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

根据组成三角形的三边关系依次判断即可．

【详解】

A、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

B、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

C、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．

D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

8、A

【解析】

【分析】

由折叠的性质可知，再由三角形外角的性质即可求出的大小，再次利用三角形外角的性质即可求出的大小．

【详解】

如图，设线段和线段交于点F．

由折叠的性质可知．

∵，即，

∴．

∵，即，

∴．

故选A．

【点睛】

本题考查折叠的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

9、D

【解析】

【分析】

利用测量的方法只能是验证，用定理，定义，性质结合严密的逻辑推理推导新的结论才是证明，再逐一分析各选项即可得到答案.

【详解】

解：证法一只是利用特殊值验证三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，

证法2才是用严谨的推理证明了该定理，

故A不符合题意，C不符合题意，D符合题意，

证法1测量够100个三角形进行验证，也只是验证，不能证明该定理，故B不符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是三角形的外角的性质的验证与证明，理解验证与证明的含义及证明的方法是解本题的关键.

10、C

【解析】

【分析】

先根据三角形外角的性质求出∠ACD=63°，再由△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，得到△ABC≌△DEC，证明∠BCE=∠ACD，利用平角为180°即可解答．

【详解】

解：∵∠A=33°，∠B=30°，

∴∠ACD=∠A+∠B=33°+30°=63°，

∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，

∴△ABC≌△DEC，

∴∠ACB=∠DCE，

∴∠BCE=∠ACD，

∴∠BCE=63°，

∴∠ACE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-63°-63°=54°．

故选：C．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△DEC．

二、填空题

1、3.9

【解析】

【分析】

过点A作AD⊥BC的延长线于点D，测量出BC，AD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

【详解】

解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．

经过测量，BC=2.2cm，AD=3.5cm，

∴S△ABC=AB•CD=×2.2×3.5=3.85≈3.9（cm2）．

故答案为：3.9．

【点睛】

本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．

2、5

【解析】

【分析】

根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值．

【详解】

解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x；

因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x，

因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x，

因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长，

S＝×第三边的长×高，6x＞×2x×高，6x＜×4x×高，

∴6＞高＞3，

∵是不等边三角形，且高为整数，

∴高的最大值为5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了三角形三边关系及三角形的面积，难度较大，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边差小于第三边．

3、35°

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．

【详解】

∵∠C=90°，∠B=55°，

∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-55°-90°=35°．

故答案为：35°．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，熟记定理并准确计算是解题的关键．

4、45

【解析】

【分析】

利用三角形的外角性质分别求得∠α和∠β的值，代入求解即可．

【详解】

解：根据题意，∠A=60°，∠C=30°，∠D=∠DBG=45°，∠ABC=∠DGB=∠DGC=90°，

∴∠β=∠DBG+∠C=75°，∠α=∠DGC+∠C=120°，

∴∠α−∠β=120°-75°=45°，

故答案为：45．

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质，解答本题的关键是明确题意，找到三角板中隐含的角的度数，利用数形结合的思想解答．

5、2＜a＜12

【解析】

【分析】

直接利用三角形三边关系得出a的取值范围．

【详解】

解：∵△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝a，

∴7﹣5＜a＜7+5，

即2＜a＜12．

故答案为：2＜a＜12．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，做题的关键是掌握三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

三、解答题

1、（1）a－1；3；（2）－a＋b＋3c．

【解析】

【分析】

（1）先根据单项式乘以多项式法则及平方差公式展开，合并得出最简结果，再代入求值即可得答案；

（2）根据三角形的三边关系可得绝对值内的式子的符号，根据绝对值的性质化简即可得答案．

【详解】

（1）a（1－4a）＋（2a＋1）（2a－1）

＝a－4a2＋4a2－1

＝a－1，

当a＝4时，原式＝4－1＝3．

（2）∵a、b、c为三角形三边的长，

∴a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，

∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|

＝|a－（b＋c）|＋|b－（c＋a）|＋|（c＋b）－a|

＝b＋c－a＋a＋c－b＋c＋b－a

＝－a＋b＋3c．

【点睛】

本题考查单项式乘以多项式法则、平方差公式、三角形三边关系及绝对值的性质，三角形任意两边的和大于第三边；任意两边的差小于第三边；熟练掌握相关运算法则及性质是解题关键．

2、两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角等于180°；等量代换

【解析】

【分析】

根据平行线的性质和平角度数等于180°求解即可．

【详解】

解：证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE BA．

∵CE BA（辅助线）

∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）

∠A＝∠ACE（两直线平行，内错角相等）

∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°（平角等于180°）

∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）

故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角等于180°；等量代换．

【点睛】

此题考查了证明三角形的内角和等于180°，平行线的性质以及平角度数等于180°，解题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平角度数等于180°．

3、角分线的定义；180°；两直线平行，同旁内角互补；90°；180°；90°

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义，可得∠GMN＝∠BMN，∠GNM＝∠DNM． 再由ABCD，可得∠BMN＋∠DNM＝180°，从而得到∠GMN＋∠GNM＝90°．然后根据三角形的内角和定理，即可求解．

【详解】

证明：∵MG平分∠BMN，

∴∠GMN＝∠BMN（角分线的定义），

同理∠GNM＝∠DNM．

∵ABCD，

∴∠BMN＋∠DNM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠GMN＋∠GNM＝90°．

∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝180°，

∴∠G＝90°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

4、（1）①真命题；②假命题；（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP

【解析】

【分析】

（1）①根据等角点的定义，可知内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，从而可作出判断；

②等边三角形不存在等角点，故可作出判断；

（2）根据∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC=∠PBC，即可得出三个角间的数量关系．

【详解】

（1）①作内角分别为30°、60°、90°的三角形斜边的中线，取中线的中点，则此点就是此直角三角形的等角点，故为真命题；

故答案为：真命题；

②任意三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点，故为假命题；

故答案为：假命题；

（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP

理由如下：

∵∠ABP+∠BAP=180°−∠BPA，∠ACP+∠CAP=180°−∠CPA

∴∠ABP+∠BAP+∠ACP+∠CAP =180°−∠BPA+180°−∠CPA=360°−(∠BPA+∠CPA)

即∠ABP+∠BAC+∠ACP=360°−(∠BPA+∠CPA)

∴∠BPC=360°−(∠BPA+∠CPA)= ∠ABP+∠BAC+∠ACP

∵∠BAC=∠PBC

∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=∠ABP+∠PBC+∠ACP

=∠ABC+∠ACP

∴∠BPC=∠ABC+∠ACP

【点睛】

本题主要考查三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理解等角的定义，根据等角的定义及三角形的内角和得出角的关系．

5、，

【解析】

【分析】

由题意可得，，由中线的性质得，故可求得，即可求得．

【详解】

由题意知，，

∵，D为BC中点

∴

∴

即

则BC=24，CD=BD=12

则

且28＞24符合题意．

【点睛】

本题考查了中线的性质，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段．