初中数学第九章 三角形综合与测试一课一练

冀教版七年级数学下册第九章 三角形同步练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．3   4   8 B．4   4   10 C．5   6   10 D．5   6   11

2、下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．3，6，9 B．5，6，8 C．1，2，4 D．5，6，15

3、如图，，，则的度数是（       ）

A．55° B．35° C．45° D．25°

4、如图，是的中线，，则的长为（       ）

A． B． C． D．

5、如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，∠EAB＝72°，以下四个说法：

①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°；

③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108°

其中正确说法的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、下列各组数中，不能作为一个三角形三边长的是（       ）

A．4，4，4 B．2，7，9 C．3，4，5 D．5，7，9

7、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（       ）

A．0根 B．1根 C．2根 D．3根

8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，直线a∥b，若BC在直线b上，则∠1的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°

9、下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）

A．1，6，6 B．2，3，5 C．3，4，8 D．5，6，11

10、若一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则该三角形为（　　）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是80，则△ABE的面积是________．

2、如图，在△ABC中，D是AC延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠BCD＝__________°．

3、如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则___________度．

4、如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝60°，∠ABD＝110°，则∠C等于___．

5、中，比大10°，，则______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状．

2、如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注：此题作图不要求写出画法和结论）

（1）分别连接AB、AD，作射线AC，作直线BD与射线AC相交于点O；

（2）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 　   　，理由是 　   　．

3、上小学时，我们已学过三角形三个内角的和为180°．定义：如果一个三角形的两个内角与满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若是“准互余三角形”，，，则______；

（2）若是直角三角形，．

①如图，若AD是的平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由．

②点E是边BC上一点，是“准互余三角形”，若，则______．

4、（1）先化简，再求值：，其中a＝4．

（2）若a，b，c分别为三角形的三边，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|

5、已知，△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，M是AE上一点，MN⊥BC于N．

(1)如图①，当点M与A重合时，若∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EMN的度数；

(2)如图②，当点M在线段AE上（不与A，E重合），用等式表示∠EMN与∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图③，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A做MC的垂线，交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．

①依题意补全图形；

②若∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，则∠AMC＝          °．

（用含α，β，γ的式子表示）

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断求解即可．

【详解】

解：A．∵3+4＜8，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

B．∵4+4＜10，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

C．∵5+6＞10，

∴能组成三角形，故本选项符合题意；

D．∵5+6=11，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行解答即可得．

【详解】

解：根据三角形的三边关系，得

A、3+6＝9，不能组成三角形，选项说法错误，不符合题意；

B、6+5＝11＞8，能组成三角形，选项说法正确，符合题意；

C、1+2＝3＜4，不能够组成三角形，选项说法错误，不符合题意；

D、5+6＝11＜15，不能够组成三角形，选项说法错误，不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了构成三角形的条件，解题的关键是掌握三角形的三边关系．

3、D

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和定理和对顶角相等求解即可．

【详解】

解：设AD与BC相交于O，则∠COD=∠AOB，

∵∠C+∠COD+∠D=180°，∠A+∠AOB=∠B=180°，∠C=∠A=90°，

∴∠D=∠B=25°，

故选：D．

【点睛】

本题考查三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握三角形的内角和是180°是解答的关键．

4、B

【解析】

【分析】

直接根据三角形中线定义解答即可．

【详解】

解：∵是的中线，，

∴BM= ，

故选：B．

【点睛】

本题考查三角形的中线，熟知三角形的中线是三角形的顶点和它对边中点的连线是解答的关键．

5、D

【解析】

【分析】

根据AD∥BC，∠C＝30°，利用内错角相等得出∠FDC=∠C=30°，可判断①正确；根据邻补角性质可求∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，根据∠ADB：∠BDC＝1：2，得出方程3∠ADB=150°，解方程可判断②正确；根据∠EAB＝72°，可求邻补角∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，利用三角形内角和可求∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°可判断③正确，利用AD∥BC，同位角相等的∠CBN=∠DAN=108°可判断④正确即可．

【详解】

解：∵AD∥BC，∠C＝30°，

∴∠FDC=∠C=30°，故①正确；

∴∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，

∵∠ADB：∠BDC＝1：2，

∴∠BDC=2∠ADB，

∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=∠ADB+2∠ADB=3∠ADB=150°，

解得∠ADB=50°，故②正确

∵∠EAB＝72°，

∴∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，

∴∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°，故③正确

∵AD∥BC，

∴∠CBN=∠DAN=108°，故④正确

其中正确说法的个数是4个．

故选择D．

【点睛】

本题考查平行线性质，角的倍分，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程，掌握平行线性质，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程地解题关键．

6、B

【解析】

【分析】

根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．

【详解】

解：选项A：4，4，4可以构成等边三角形，故选项A正确；

选项B：2+7=9，两边之和等于第三边，不能构成三角形，故选项B错误；

选项C：3+4>5，这三边可以构成三角形，故选项C正确；

选项D：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可以构成三角形，故选项D正确；

故选：B．

【点睛】

本题考查了构成三角形的三边的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解．

7、B

【解析】

【分析】

根据三角形的稳定性即可得．

【详解】

解：要使这个木架不变形，王师傅至少还要再钉上1根木条，将这个四边形木架分成两个三角形，如图所示：

或

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．

8、C

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理确定，然后利用平行线的性质求解即可．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．

9、A

【解析】

【分析】

根据构成三角形的条件逐项分析判断即可．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据原理分别计算两条较短边的和与最长边比较，再逐一分析即可.

【详解】

解：A. 1+6>6，能组成三角形，故该选项正确，符合题意；

B. 2+3=5,不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；      

C. 3+4<8,不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；      

D. 5+6=11,不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查了判断构成三角形的条件，解题的关键是掌握构成三角形的条件．

10、A

【解析】

【分析】

根据三角形外角和为360°计算，求出内角的度数，判断即可．

【详解】

解：设三角形的三个外角的度数分别为3x、4x、5x，

则3x+4x+5x＝360°，

解得，x＝30°，

∴三角形的三个外角的度数分别为90°、120°、150°，

对应的三个内角的度数分别为90°、60°、30°，

∴此三角形为直角三角形，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是三角形的外角和，掌握三角形外角和为360°是解题的关键．

二、填空题

1、20

【解析】

【分析】

根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．

【详解】

解：∵AD是BC上的中线，

∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，

∵BE是△ABD中AD边上的中线，

∴S△ABE=S△BED=S△ABD，

∴S△ABE=S△ABC，

∵△ABC的面积是80，

∴S△ABE=×80=20．

故答案为：20．

【点睛】

本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．

2、120

【解析】

【分析】

根据三角形的外角性质，可得 ，即可求解．

【详解】

解：∵ 是 的外角，

∴ ，

∵∠A＝50°，∠B＝70°，

∴ ．

故答案为：120

【点睛】

本题主要考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

3、20

【解析】

【分析】

利用平行线的性质求出∠1，再利用三角形外角的性质求出∠DCB即可．

【详解】

解：∵EF∥CD，

∴，

∵∠1是△DCB的外角，

∴∠1-∠B=50°-30°=20º，

故答案为：20．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

4、50°

【解析】

【分析】

首先根据平角的概念求出的度数，然后根据三角形内角和定理即可求出的度数．

【详解】

解：∵∠ABD＝110°，

∴，

∴

故答案为：50°．

【点睛】

此题考查了平角的概念，三角形三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平角的概念，三角形三角形内角和定理．

5、70°

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理可得，由题意比大，可得，组成方程组求解即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∵比大，

∴，

∴，

解得：，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查三角形内角和定理及二元一次方程组的应用，理解题意，列出代数式组成方程组是解题关键．

三、解答题

1、的形状是等边三角形．

【解析】

【分析】

利用平方数的非负性，求解a，b，c的关系，进而判断．

【详解】

解：∵，

∴，

∴a=b=c，

∴ 是等边三角形．

【点睛】

本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．

2、（1）见解析；（2）AB+AD＞BD，在三角形中，两边之和大于第三边．

【解析】

【分析】

（1）根据直线，射线，线段的作图方法作图即可；

（2）根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边进行求解即可．

【详解】

解：（1）如图所示，即为所求；

（2）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是：AB+AD＞BD，理由是：在三角形中，两边之和大于第三边，

故答案为：AB+AD＞BD，在三角形中，两边之和大于第三边．

【点睛】

本题主要考查了三角形三边的关系，作直线，射线和线段，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

3、（1）15°；（2）①是，见解析；②24°或33°

【解析】

【分析】

（1）根据是“准互余三角形”，得出，从中求出∠B即可；

（2）①是“准互余三角形”，理由如下：根据AD平分，得出，根据三角形内角和 ，得出即可；

②点E是边BC上一点，是“唯互余三角形”，分两种情况，当2∠BAE+∠ABC=90°时，先求出，可得∠EAC=33°，当∠BAE+2∠ABC=90°时，

可求，根据∠EAC=90°-∠BAE-∠ABC=24°即可．

【详解】

（1）∵是“准互余三角形”，，

∴，

∴，

故答案为：15°

（2）①解：是“准互余三角形”，理由如下：

∵AD平分，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴是“准互余三角形”．

②点E是边BC上一点，是“准互余三角形”，

∴当2∠BAE+∠ABC=90°时，

∴，

∴∠EAC=90°-∠BAE-∠ABC=33°，

∴当∠BAE+2∠ABC=90°时，

∴，

∴∠EAC=90°-∠BAE-∠ABC=90°-42°-24°=24°．

故答案为33°或24°．

【点睛】

本题考查新定义“准互余三角形”，角平分线定义，角的倍分，掌握如果一个三角形的两个内角与满足或．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”是解题关键．

4、（1）a－1；3；（2）－a＋b＋3c．

【解析】

【分析】

（1）先根据单项式乘以多项式法则及平方差公式展开，合并得出最简结果，再代入求值即可得答案；

（2）根据三角形的三边关系可得绝对值内的式子的符号，根据绝对值的性质化简即可得答案．

【详解】

（1）a（1－4a）＋（2a＋1）（2a－1）

＝a－4a2＋4a2－1

＝a－1，

当a＝4时，原式＝4－1＝3．

（2）∵a、b、c为三角形三边的长，

∴a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，

∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|

＝|a－（b＋c）|＋|b－（c＋a）|＋|（c＋b）－a|

＝b＋c－a＋a＋c－b＋c＋b－a

＝－a＋b＋3c．

【点睛】

本题考查单项式乘以多项式法则、平方差公式、三角形三边关系及绝对值的性质，三角形任意两边的和大于第三边；任意两边的差小于第三边；熟练掌握相关运算法则及性质是解题关键．

5、（1）；（2），见解析；（3）①见解析；②

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和求出∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．根据AE平分∠BAC，∠CAE＝∠BAC＝30°，利用三角形内角和∠C＝80°，∠MNC＝90°，得出∠CMN＝10°即可；

(2)∠EMN＝(∠C－∠B)；证法1:如图，作AD⊥BC于D．根据AE平分∠BAC，可得∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．根据，Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，得出∠EAD＝∠EAC－∠DAC=(∠C－∠B)．根据AD⊥BC，MN⊥BC，可得AD//MN，得出∠EMN＝∠EAD＝(∠C－∠B)．证法2:根据 AE平分∠BAC，得出∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)，根据三角形内角和得出∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－(∠C－∠B)即可；

(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D，如图；                                  

②∠AMC＝．过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，可得MN∥AG，得出∠NME=∠GAE=（∠ACB-∠B），根据MC⊥AD，得出∠CFD=∠CNM=90°，可证∠NMC=∠D，

根据两角差∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-∠ACB+∠B即可

【详解】

解:(1)∵∠B＝40°，∠C＝80°，

∴∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．

又∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE＝∠BAC＝30°，

∵∠C＝80°，∠MNC＝90°，

∴∠CMN＝10°，

∴∠EMN＝∠CAE－∠CMN＝30°－10°＝20°；

(2)∠EMN＝(∠C－∠B)．                                     …

证法1:如图，作AD⊥BC于D．

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．

∵，

∴Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，

∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC

＝(180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝(∠C－∠B)．

∵AD⊥BC，MN⊥BC，

∴AD//MN，

∴∠EMN＝∠EAD＝(∠C－∠B)．           

证法2:∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)，

∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－(∠C－∠B)，

∴∠EMN＝90°－∠AEC＝(∠C－∠B)．

(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．如图；                                  

②∠AMC＝．

过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，

∴MN∥AG，

∴∠NME=∠GAE=（∠ACB-∠B），

∵MC⊥AD，

∴∠CFD=∠CNM=90°，

∵∠FCD=∠NCM，

∴∠NMC=180°-∠CNM-∠NCM=180°-∠CFD-∠FCD=∠D，

∴∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-∠ACB+∠B，

∵∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，

∴∠AMC=γ°-β°+α°．

【点睛】

本题考查三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，补全图形，垂线定义，掌握三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，作图语句，垂线定义是解题关键．