数学必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用学案设计

2.3　三角函数的叠加及其应用

辅助角公式：一般地，当a，b不同时为零时，asin α＋bcos α＝(sin α＋cos α)，

根据Sα＋β引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ，

所以asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)．

思考：1.对于asin α＋bcos α，为什么提取后就可以转化为sin(α＋φ)?

提示：asin α＋bcos α

＝，

令＝cos φ，＝sin φ，

则asin α＋bcos α＝(sin αcos φ＋cos αsin φ)＝sin(α＋φ)．

2．asin α＋bcos α可以转化为cos(α＋φ)吗？

提示：asin α＋bcos α

＝，

令＝－sin φ，＝cos φ，

则asin α＋bcos α＝(cos αcos φ－sin αsin φ)＝cos(α＋φ)．

1．sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°等于(　　)

A．－　　　　　　 B．

C．－ D．

D　[原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.]

2．求值：cos 10°＋sin 10°＝________.

2sin 40°　[cos 10°＋sin 10°＝2

＝2sin 40°.]

3．函数y＝sin 2x＋cos 2x的周期为________．

π　[y＝sin 2x＋cos 2x＝sin，

所以T＝＝π.]

【例1】　(1)sin－cos＝________.

(2)已知a＝(，－1)，b＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝a·b，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．

(1)－　[原式＝2.

法一：(化正弦)原式

＝2

＝2

＝2sin＝2sin＝－.

法二：(化余弦)原式

＝2

＝－2

＝－2cos＝－2cos＝－.]

(2)[解]　f(x)＝sin x－cos x

＝2

＝2

＝2sin，

∴T＝＝2π，值域[－2,2]．

由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得递增区间为，k∈Z.

逆用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，一般是观察角、函数名、所求(或所化简)问题的整体形式中的差异，利用诱导公式把三角函数式中的角转化为能够应用公式的形式，或利用辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)进行转化．

[跟进训练]

1．(1)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________.

(2)计算cos ＋sin 的值是(　　)

A． B．2

C．2 D．

(1)　(2)B　(1)[∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，

∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)

＝－tan 20°tan 40°，

∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.

(2)cos ＋sin ＝2

＝2

＝2sin＝2sin ＝2.]

【例2】　(1)函数f(x)＝sin 2x－cos 2x(　　)

A．关于点对称 B．关于点对称

C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称

(2)将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝g，则实数t的最小值为(　　)

A． B．

C． D．

(1)C　(2)B　[(1)由题意得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，因为f＝－1，选项A，D错，f＝2，选项B错误，C正确．

(2)由题意得，f(x)＝sin 2x－cos 2x ＝2sin，则g(x)＝2sin，从而2sin＝2sin＝－2sin(2x－2t)＝2sin(2x－2t＋π)，又t>0，所以当2t－＝－2t＋π＋2kπ(k∈Z)时，即t＝＋(k∈Z)，实数tmin＝.]

(1)研究三角函数图象的对称性和平移变换时，都要把三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式后解决问题．

(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．

[跟进训练]

2．设函数f(x)＝cos x－sin x，则下列结论错误的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在单调递减

D　[f(x)＝cos x－sin x＝2cos，

A项，因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．

B项，因为f(x)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，当k＝3时，直线x＝是其对称轴，B项正确．

C项，f(x＋π)＝2cos，将x＝代入得到f＝2cos＝0，所以x＝是f(x＋π)的一个零点，C项正确．

D项，因为f(x)＝2cos的递减区间为 (k∈Z)，递增区间为 (k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误．]

[探究问题]

1. 逆用两角和的正弦公式可以把cos α＋sin α化简为什么？

提示：cos α＋sin α＝sincos α＋cossin α＝sin.

2. 逆用两角和的正弦公式可以把cos α＋sin α化简为什么？

提示：cos α＋sin α＝2＝2＝2sin.

3．逆用两角和的正弦公式可以把acos α＋bsin α化简为什么？

提示：acos α＋bsin α＝cos α＋sin α，令＝sin φ，＝cos φ，则cos α＋sin α＝sin(α＋φ)，

所以acos α＋bsin α＝sin(α＋φ)．

【例3】　已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；

(2)讨论函数f(x)在上的单调性．

[思路点拨]　→

→

→

[解]　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，

∴ω＝2，于是f(x)＝sin.

令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．

即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.

一般地，对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取，化为Asin(ωx＋φ)的形式．公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝·cos(α－φ)称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．

1．公式的逆用：对于两角和与差的三角函数公式，要抓住其结构特征，在涉及相关题目时，要通过诱导公式等对其变换，构造逆用公式的形式，对三角函数式化简和求值．

2．辅助角公式及应用：对于三角函数y＝asin α＋bcos α，可以提取，化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后研究其周期，最值和单调性等性质．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)在辅助角公式中acos α＋bsin α＝sin(α＋φ)，tan φ＝． (　　)

(2)函数y＝sin x＋acos x的最大值是1＋a． (　　)

(3)函数y＝sin 2x－cos 2x图象的对称中心是，k∈Z．

  (　　)

[提示]　(1)正确．acos α＋bsin α＝，令＝sin φ，＝cos φ，则cos α＋sin α＝sin(α＋φ)，所以tan φ＝.

(2)错误．y＝sin x＋acos x＝sin(x＋φ)，所以函数y＝sin x＋acos x的最大值是.

(3)正确．y＝sin 2x－cos 2x＝2sin，令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，所以函数y＝sin 2x－cos 2x图象的对称中心是.k∈Z.

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√

2．sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 170°等于(　　)

A．－　　　　　 B．

C．－ D．

D　[原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝，故选D．]

3．若将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)

A．y＝2sin B．y＝2sin

C．y＝2sin D．y＝2sin

D　[函数y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D．]

4. 已知函数f(x)＝－cos 2x＋sin 2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的值域．

[解]　(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x

＝sin＋.

所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由(1)可知f(x)＝sin＋，

因为sin∈[－1,1]，所以sin＋∈，即f(x)的值域为.