人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法教案及反思

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法教案及反思，共9页。教案主要包含了典例解析，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习数学归纳法
前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。但由于有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。
数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现。并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。
教学目标与核心素养
重点难点
重点： 用数学归纳法证明数学命题
难点：数学归纳法的原理.
课前准备
多媒体
教学过程
教学反思
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
课程目标
学科素养
A.了解数学归纳法的原理.
B.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
1.数学抽象：数学归纳法的原理
2.逻辑推理：运用数学归纳法证明数学命题
3.数学建模：运用多米诺骨牌建立数学归纳法概念
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
知识回顾
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{an}的通项公式an=a1+n−1 d等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数n有关的问题，我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法-----数学归纳法
探究1. 已知数列{an}满足，a1 =1, an+1= 12−an (n∈N∗)
计算a2， a3， a4，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
分析：计算可得a2 =1 ， a3 =1 ， a4 =1 ，再结合a1 =1 ，由此猜想： a1 =1(n∈N∗)如何证明这个猜想呢？
思路1.我们可以从开始一个个往下验证。一般来说，与正整数n有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但n当较大时，验证起来会很麻烦。特别当n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。
问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？
可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，
相邻的第k+1块也倒下。
探究2. 你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是an =1 (n∈N∗)”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
（1）第一块骨牌倒下；
（2）若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下
根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
（1）当n=1时猜想成立； a1 =1
（2）若n=k时猜想成立, 即ak =1,
则当n=k+1时, ak+1= 12−ak =1,猜想也成立，
根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立.
所以，对于任意正整数n，猜想都成立，即数列{an}的通项公式是an =1.
数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立
归纳递推→以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,
推出“当n=k+1时命题也成立”
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
二、典例解析
例1.用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么，
an= a1 +n−1d ①
对任何n∈N∗都成立.
分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明n=1时命题成立。第二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果n=k时, ①式正确的，那么n=k+1时①式也是正确的.
证明：（1）当n=k时，左边=a1 ，右边= a1 +0×d=a1,①式成立.
（2）假设当n=k(k∈N∗)时， ①式成立，即
ak= a1 +k−1d
根据等差数列的定义，有
ak+1− ak =d,
于是ak+1= ak +d
= a1 +k−1d +d
= a1 + k−1+1 d
= a1 + k+1−1 d
即当n=k+1时， ①式也成立
由（1）（2）可知， ①式对任何n∈N∗都成立
用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;
(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
跟踪训练1求证:1-12+13−14+…+12n-1−12n=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N*).
证明:①当n=1时,左边=1-12=12,右边=12,所以等式成立.
②假设n=k(k∈N*)时,1-12+13−14+…+12k-1−12k=1k+1+1k+2+…+12k成立.
那么当n=k+1时,
1-12+13−14+…+12k-1−12k+12(k+1)-1−12(k+1)=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1−12(k+1)
=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+[1k+1−12(k+1)]
=1(k+1)+1+1(k+1)+2+…+1(k+1)+k+12(k+1),所以n=k+1时,等式也成立.
综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.
例2已知数列11×4,14×7,17×10,…,1(3n-2)(3n+1),…,计算S1,S2,S3,S4,根据
计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解:S1=11×4=14;
S2=14+14×7=27;
S3=27+17×10=310;
S4=310+110×13=413.
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,
分母可用项数n表示为3n+1.
于是可以猜想Sn=n3n+1.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当n=1时,左边=S1=14,
右边=n3n+1=13×1+1=14,
猜想成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,
即11×4+14×7+17×10+…+1(3k-2)(3k+1)=k3k+1,当n=k+1时,11×4+14×7+17×10+…+1(3k-2)(3k+1)+1[3(k+1)-2][3(k+1)+1]=k3k+1+1(3k+1)(3k+4)
=3k2+4k+1(3k+1)(3k+4)=(3k+1)(k+1)(3k+1)(3k+4)=k+13(k+1)+1,
所以,当n=k+1时猜想也成立.
根据(1)和(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.
(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节
(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型
①已知数列的递推公式,求通项或前n项和.
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.
③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
跟踪训练2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.
解:由a1=2-a1,得a1=1;
由a1+a2=2×2-a2,得a2=32;
由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=74;
由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=158.
猜想an=2n-12n-1.
下面证明猜想正确:
(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.
(2)假设当n=k时猜想成立,
则有ak=2k-12k-1,
当n=k+1时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=12[2(k+1)-Sk]
=k+1-122k-2k-12k-1=2k+1-12(k+1)-1,
所以,当n=k+1时,等式也成立.
由(1)和(2)可知,an=2n-12n-1对任意正整数n都成立.
通等差数列通项公式的获得，引出问题。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
类比多米诺骨牌，经历观察、分析、比较、抽象出数学归纳法的原理。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
通过典型例题，帮助学生掌握数学归纳法在证明关于正整数有关的命题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
三、达标检测
1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是( )
A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.
答案:C
2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是( )
A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)
C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)
解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),
所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.
答案:C
3.已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*),计算得
f(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,f(32)>72,由此推测,当n>2时,有 .
答案:f(2n)>n+22
4.用数学归纳法证明:122+132+…+1(n+1)2>12−1n+2.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 .
解析:从不等式结构看,左边n=k+1时,最后一项为1(k+2)2,前面的分母的底数是连续的整数,右边n=k+1时,式子为12−1(k+1)+2,即目标不等式为122+132+…+1(k+2)2>12−1k+3.
答案:122+132+…+1(k+2)2>12−1k+3
5.用数学归纳法证明:当n≥2,n∈N*时,1-141-19(1-116)…(1-1n2)=n+12n.
证明:(1)当n=2时,左边=1-14=34,右边=2+12×2=34,∴n=2时等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,
即(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1k2)=k+12k,
那么当n=k+1时, (1-14)(1-19)(1-116)…(1-1k2)[1-1(k+1)2]
=k+12k·[1-1(k+1)2]=(k+1)2-12k(k+1)=k+22(k+1)=(k+1)+12(k+1).
∴当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。