考点26统计与概率（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点26统计与概率

考点总结

一、普查与抽样调查

1．有关概念

(1)普查：为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查．

(2)抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查．

2．调查的选取

当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时，往往采用抽样调查．

3．抽样调查样本的选取

抽样时注意样本的代表性和广泛性．

二、总体、个体、样本及样本容量

1．总体：所要考察对象的全体叫做总体．

2．个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．[来源:Zxxk.Com][来源:ZXXK]

3．样本：从总体中抽取的部分个体叫做样本．

4．样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量．

三、几种常见的统计图表

1．条形统计图

条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形．

它的特点是：(1)能够显示每组中的具体数据；(2)易于比较数据之间的差别．

2．折线统计图

用几条线段连成的折线来表示数据的图形．

它的特点是：易于显示数据的变化趋势．

3．扇形统计图

(1)用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．

(2)百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与360°的比．

(3)扇形的圆心角＝360°×百分比．

四、频数分布直方图

1．每个对象出现的次数叫频数．

2．每个对象出现的次数与总次数的比(或者百分比)叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度．

3．频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．

4．频数分布直方图的绘制步骤：

(1)计算最大值与最小值的差；

(2)决定组距与组数；

(3)确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；

(4)列频数分布表；

(5)用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．

五、平均数、众数与中位数

1．平均数

(1)平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，我们把(x1＋x2＋…＋xn)叫做这组数据的算术平均数，简称平均数，记为.

(2)加权平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，x1出现f1次，x2出现f2次，x3出现f3次，…，xk出现fk次(其中f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么＝(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权，f1＋f2＋f3＋…＋fk＝n.

2．众数

在一组数据中，出现次数最多的数叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时有几个)．

3．中位数

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

六、数据的波动

1．方差

在一组数据x1，x2，x3，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，即s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．

2．标准差

一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，即s＝.

3．极差

一组数据中最大值与最小值的差，叫做这组数据的极差．

4．极差、方差和标准差都可以衡量一组数据的波动大小；方差(或标准差)越大，说明这组数据波动越大．

七、事件的有关概念

1．必然事件：

在现实生活中一定会发生的事件称为必然事件．

2．不可能事件：

在现实生活中一定不会发生的事件称为不可能事件．[来源:学&科&网]

3．不确定事件：

在现实生活中，有可能发生，也有可能不发生的事件称为不确定事件．

4．分类：事件

八、用列举法求概率

1．在不确定事件中，一件事发生的可能性大小叫做这个事件的概率．

2．适用条件：

(1)可能出现的结果为有限多个；

(2)各种结果发生的可能性相等．

3．求法：

(1)利用列表或画树状图的方法列举出所有机会均等的结果；

(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；

(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．

九、利用频率估计概率

1．适用条件：

当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等．

2．方法：

进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．

3．概率的应用

概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．

真题演练

一、单选题

1．下列抽样调查最合理的是（    ）

A．了解某小区居民的消防常识，对你所在班级的同学进行调查

B．了解某市垃圾分类的宣传情况，对该市的所有学校进行调查

C．了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查

D．了解某市第一季度的空气质量情况，对该市第一季度随机抽取30天进行调查

【答案】D

【分析】

抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查，通过调查样本来收集数据，工作量较小，便于进行，调查结果不如普查得到结果精准．

【详解】

A：调查部分个体应为某小区居民，选项错误；

B：对该市的部分学校抽样调查即可，选项错误；

C：调查每天平均睡眠时间，不是只对周末的睡眠时间调查，选项错误；

D：随机抽取30天进调查，估算第一季度的天气质量情况，符合抽样的定义，正确．

故选：D

2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．

【详解】

解：由题意得：

∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是；

故选C．

3．目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值，树立明确具体的目标，能够帮助人们更好的自我认知，迅速成长．某销售部门有9位员工（编号分别为A－I），下图是根据他们月初制定的目标销售任务和月末实际完成情况绘制的统计图，下列结论正确的是（   ）

①E超额完成了目标任务；②目标与实际完成相差最多的是G； 

③H的目标达成度为100%；④月度达成率超过75%且实际销售额大于4万元的有三个人．

A．①②③④ B．①③ C．① ②③ D．②③④

【答案】A

【分析】

根据统计图即可直接判断E超额完成了目标任务，故①正确；G的目标完成量与实际完成量相差6万元为最大，故②正确；H的目标完成量为3万元，实际完成量为3万元，即H的目标达成度为100%，故③正确；分别计算出实际销售额大于4万元的人员的月度达成率，再和75%作比较即可判断④正确．

【详解】

根据统计图可知E的目标完成量为4万元，实际完成量为5万元，即E超额完成了目标任务，故①正确；

根据统计图可知G的目标完成量为8万元，实际完成量为2万元，相差6万元为最大，故②正确；

根据统计图可知H的目标完成量为3万元，实际完成量为3万元，故H的目标达成度为100%，故③正确；

根据统计图可知实际销售额大于4万元的有B、C、E、I，其目标完成量分别为5万元、7万元、4万元、6万元，实际完成量分别为4.5万元、5万元、5万元、5万元，即他们的月度达成率分别为、、、，故B、E、I三人月度达成率超过75%，故④正确．

综上，①②③④都正确．

故选A．

4．为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下：

表中4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35．下面有四个推断：

①表中a的值为100；

②表中c的值可以为0.31；

③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间；

④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6．

所有合理推断的序号是（    ）

A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④

【答案】A

【分析】

①根据数据总数=频数÷频率,列式计算可求a的值；

②根据4≤x<6组的频数b满足25≤b≤35，可求该范围的频数,进一步得到c的值的范围，从而求解；

③根据中位数的定义即可求解；

④根据加权平均数的计算公式即可求解．

【详解】

解：①8÷0.08=100，故表中a的值为100,是合理推断；

②25÷100=0.25，35÷100=0.35，

1-0.08-0.17-0.35-0.15=0.25，1-0.08-0.17-0.25-0.15=0.35，

故表中c的值为0.25≤c≤0.35，表中c的值可以为0.31，是合理推断；

③表中4≤x<6组的频数b满足25≤b≤35，

∴8+17+25=50,8+17+35=60，

∴这100名学生每周课外阅读时间的中位数可能在4~6之间,也可能在6~8之间，故此推断不是合理推断；

④这a名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过6，故此推断不是合理推断．

故选：A．

5．根据国家统计局2016-2020年中国普通本专科、中等职业教育及普通高中招生人数的相关数据，绘制统计图如下：

下面有四个推断：

①2016-2020年，普通本专科招生人数逐年增多；

②2020年普通高中招生人数比2019年增加约4%；

③2016-2020年，中等职业教育招生人数逐年减少；

④2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的1.4倍．

所有合理推断的序号是（    ）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④

【答案】C

【分析】

根据图中信息，可知2016-2020年，普通本专科招生人数逐年增多；2020年普通高中招生人数比2019年增加4.41%左右；2016-2020年，中等职业教育招生人数不是逐年减少；2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的1.4倍

【详解】

①项，从图中可以看出是逐年增高，所以正确；②项（876-839）÷839≈4.41%，所以正确；③项，等职业教育招生人数在2016-2018年逐年减少，但在2018-2020年是逐年增加的，所以错误；④839÷600≈1.4，故正确；

故选：C．

6．某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t（分钟），数据分成6组：，，，，，如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是（    ）

A．此时段有1桌顾客等位时间是40分钟

B．此时段平均等位时间小于20分钟

C．此时段等位时间的中位数可能是27

D．此时段有6桌顾客可享受优惠

【答案】D

【分析】

理解时段非某一固定时刻即可判断A选项；求出此时段平均等位时间即可判断B选项；利用中位数的定义即可判断C选项；根据题意“规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠”结合统计图，即可求出可享受优惠的人数，即可判断D选项．

【详解】

由题意和统计图可知此时段有1桌顾客等位时间是35-40分钟，不能说明一定是40分钟．故A选项错误，不符合题意；

此时段平均等位时间，故B选项错误，不符合题意；

由于共统计了35人，所以中位数落在区间是20-25分钟的时间段．故C选项错误，不符合题意；

由等位时间是30分钟以上的人数为5+1=6人，故D选项正确，符合题意；

故选D．

7．学校要举行运动会，小亮和小刚报名参加100米短跑项目的比赛，预赛分A，B，C三组进行，小亮和小刚恰好在同一个组的概率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得两人恰好在同一组的概率．

【详解】

如下图所示：

小亮和小刚恰好分在同一组的情况有三种，共有9种等可能的结果,

所以, 小亮和小刚恰好分在同一组的概率是 ,

故选:B

8．参加第六届京津冀羽毛球冠军挑战赛的一个代表队的年龄分别是49，20，20，25，31，40，46，20，44，25，这组数据的平均数，众数，中位数分别是（    ）

A．33，21，27 B．32，20，28 C．33，49，27 D．32，21，22

【答案】B

【分析】

根据平均数，众数，中位数的定义求解即可．

【详解】

解：这组数据的平均数是：（岁，

这组数据出现最多的数是20，所以这组数据的众数是20岁；

把这些数按从小到大的顺序排列为：20，20，20，25，25，31，40，44，46，49，

则这组数据的中位数是：（岁．

故选：．

9．桌面上倒扣着形状大小相同，背面图案相同的下面五张卡片，从中任意选取一张卡片，恰好是带有光盘行动字样卡片的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据概率的公式计算即可．

【详解】

解：因为共5张卡片，其中带有光盘行动字样的有2张，

所以从中任意选取一张卡片，恰好是带有光盘行动字样卡片的概率是，

故选：．

10．如果从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是3的整数倍的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由题意得取到的数恰好是3的整数倍的数有3和6，进而问题可求解．

【详解】

解：由题意得：取到的数恰好是3的整数倍的数有3和6，

∴取到的数恰好是3的整数倍的概率是；

故选B．

二、填空题

11．某农场引进一批新菜种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取一定数量的种子进行实验． 实验结果如下表所示 ：

在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为_________．（ 精确到 0.01 ）

【答案】0.97

【分析】

利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.97左右，由此可估计发芽的概率大约是0.97．

【详解】

根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在0.97左右，所以可估计这种大蒜发芽的机会大约是0.97．

故答案为0.97．

12．在一个不透明的袋子里有1个黄球，2个白球，3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是白球的概率是_______．

【答案】

【分析】

用白球的数量除以球的总数量即可求得摸到白球的概率．

【详解】

解：∵不透明的袋子里装有1个黄球，2个白球，3个红球，

∴从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是

故答案为：．

13．某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．回答下列问题：

（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数________（填“是”或“否”）；

（2）按照这种化验方法至多需要________次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．

【答案】是    2025   

【分析】

（1）第一轮用总人数除以5可知化验次数是减少

（2）用总人数乘以携带该病毒的人数的百分比含量0.05%．每一个携带者格分别在一组，对这些组进行第二轮一一化验，加上一轮化验次数是总化验次数

【详解】

解：（1）第一轮化验10000名÷5=2000次<10000次

故按照这种化验方法是能减少化验次数

故答案为：是

（2）按照这种方法需要两轮化验，

第一轮化验2000次

携带该病毒的人数=10000×0.05%=5人

最多有5组需要进行第二轮化验一一化验需要5×5=25次化验

一共进行2000+25=2025次化验，

按照这种化验方法至多需要2025次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．

故答案为： 2025．

14．一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是________．

【答案】．

【分析】

直接根据概率公式求解即可．

【详解】

∵盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，共有9个球，

∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是，

故答案为：．

15．50件外观相同的产品中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行捡测，抽到不合格产品的概率是____．

【答案】

【分析】

由50件外观相同的产品中有2件不合格，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】

解：∵50件外观相同的产品中有2件不合格，

∴现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是：2÷50=．

故答案为：．

三、解答题

16．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的个红球和个白球，把它们充分搅匀．

（1）“从中任意抽取个球不是红球就是白球”是_____事件，“从中任意抽取个球是黄球”是______事件；

（2）为了更好的迎接“《生物多样性公约》第次缔约方大会”（简称“”）昆明的某校决定开展使昆明的城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，若两球颜色相同，则选甲；若两球颜色不同，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明理由．

【答案】（1）必然，不可能；（2）公平，理由见解析

【分析】

（1）直接利用必然事件以及不可能事件的定义分别求解即可得出答案；

（2）首先根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两个球颜色相同的情况数和不同的情况数，再利用概率公式即可求出答案．

【详解】

解：（1）不透明的盒子中装有大小和形状相同的个红球和个白球，

“从中任意抽取个球不是红球就是白球”是必然事件；

“从中任意抽取个球是黄球”是不可能事件；

故答案为：必然，不可能；

（2）根据题意画图如下：

一共有种可能出现的结果，其中两个球是同色的有种情况，

则甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，

，

这个规则公平．

17．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

（1）根据上表估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为 　 　．（结果保留两位小数）

（2）小明想了解该运动员连续两次射击都“射中九环以上”的概率，他将这个问题进行了简化，制作了三张不透明卡片，其中两张卡片的正面写有“中”，第三张卡片的正面写有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录文字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片上都写有“中”的概率．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值，选取射击次数较多的几次求均值；

（2）利用列表法列出所有可能的情况，找出满足条件的次数，利用概率公式求解．

【详解】

解：（1）“射中九环以上”的概率约为

，

故答案是：．

（2）列表如下

由图可知，总的情况数是种，满足两次抽取的卡片上都写有“中”的有种，由概率公式：

∴（两次抽取的卡片上都写有“中”）．

18．2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：

信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量

信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入

信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率

请根据以上信息，解决下列问题：

（1）2019年底中国农村贫困人口数量为______万人．

（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为______元．

（3）下列结论正确的是______（只填序号）．

①脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫；

②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为％，增长持续快于全国农村；

③2016－2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．

【答案】（1）551；（2）6509；（3）①②③

【分析】

（1）根据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图即可求得；

（2）根据信息三中的表格数据，以及极差的定义即可求得，极差：一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差；

（3）根据信息一可得①正确，根据信息三中的表格数据，求得平均年增长率，并且观察每一年的数据贫困地区农村居民人均可支配收入增长率快于全国农村的可支配收入增长率，即可判断②，根据信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入，计算2016－2020年各级财政专项扶贫资金投入减去中央财政专项扶贫资金即可判断③．

【详解】

（1）根据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图即可知：

2019年底中国农村贫困人口数量为551万人；

故答案为：551

（2）

故答案为：

（3）根据信息一，可得，脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫，故①正确；

②，且每一年的我国贫困地区农村居民人均可支配收入年增长率持续快于全国农村；故②正确；

③2016年:，

2017年：，

2018年：，

2019年：，

2020年：，

2016－2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．故③正确

故答案为：①②③．