考点04 一次方程（组）（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

这是一份考点04 一次方程（组）（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版），共12页。试卷主要包含了方程和方程的解的概念，一元一次方程及其解法，二元一次方程及解的概念，一次方程的应用等内容，欢迎下载使用。
考点04 一次方程（组）考点总结一、方程和方程的解的概念1．等式的性质（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．2．方程:含有未知数的等式叫做方程．3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．二、一元一次方程及其解法1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3．一元一次方程的求解步骤变形名称具体做法去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．三、二元一次方程（组）及解的概念1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．4．解二元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．5．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．四、一次方程（组）的应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•河北模拟）洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．它是在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行，一纵列及对角线的几个数之和都相等，如图也是一个洛书，上面只有部分数字可见，则x对应的数是（　　）A．1 B．4 C．6 D．8【分析】直接利用任意一横行，一纵列及对角线的几个数之和都相等，得出等式进而得出答案．【解答】解：由题意可得：x+3+15＝5+11+8，解得：x＝6．故选：C．2．（2021•路北区三模）已知2×m＝1，则m表示数（　　）A． B． C．2 D．﹣2【分析】根据已知方程求出m的值即可．【解答】解：方程2×m＝1，解得：m，则m表示的数为．故选：A．3．（2021•衡水模拟）下列等式变形正确的是（　　）A．若2x＝1，则x＝2 B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1 C．若2x＝3，则x D．若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1【分析】根据等式的性质逐个判断即可．【解答】A、若2x＝1，则x，故本选项错误，不符合题意；B、若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2+1，故本选项错误，不符合题意；C、若2x＝3，则x，故本选项正确，符合题意；D、若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，故本选项错误，不符合题意；故选：C．4．（2021•新华区模拟）长江比黄河长836km，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，设长江长度为xkm，则下列方程中正确的是（　　）A．5x﹣6（x﹣836）＝1284 B．6x﹣5（x+836）＝1284 C．6（x+836）﹣5x＝1284 D．6（x﹣836）﹣5x＝1284【分析】根据长江比黄河长836km，设长江长度为xkm，即可得到黄河的长度为（x﹣834）km，再根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，6（x﹣836）﹣5x＝1284，故选：D．5．（2021•新华区校级模拟）下列等式变形正确的是（　　）A．若2x＝1，则x＝2 B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1 C．若﹣2x＝3，则 D．若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1【分析】根据等式的性质即可解决．【解答】解：A、若2x＝1，则x，原变形错误，故这个选项不符合题意；B、若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2+1，原变形错误，故这个选项不符合题意；C、若﹣2x＝3，则x，原变形正确，故这个选项符合题意；D、若1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，原变形错误，故这个选项不符合题意；故选：C．6．（2021•保定模拟）新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（　　）A．2×1000（26﹣x）＝800x B．1000（13﹣x）＝800x C．1000（26﹣x）＝2×800x D．1000（26﹣x）＝800x【分析】题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．【解答】解：设安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，由题意得1000（26﹣x）＝2×800x．故选：C．7．（2021•海港区模拟）下列变形中，正确的是（　　）A．若a＝b，那么a+c＝b﹣c B．若﹣3x＝5，则x C．若a＝b，那么 D．若x＝1，则x＝﹣3【分析】根据等式的性质一一判断即可．【解答】解：A、错误．若a＝b，那么a+c＝b+c；B、错误．若﹣3x＝5，则x；C、错误．c＝0时，不成立；D、正确．故选：D．8．（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D．【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设合伙人数为x人，依题意，得：5x+45＝7x+3．故选：B．9．（2021•河北模拟）根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”小马说：“我还想给你1包呢！”大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（　　）A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1） C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x【分析】设大马驮x袋，小马驮y袋．本题中的等量关系是：2×（小马驮的﹣1袋）＝大马驮的+1袋；大马驮的﹣1袋＝小马驮的+1袋，据此可列方程组求解．【解答】解：设大马驮x袋，小马驮y袋．根据题意，得．故选：B．10．（2021•衡水模拟）在解二元一次方程组时，若①﹣②可直接消去未知数y，则⊕和⊗（　　）A．互为倒数 B．大小相等 C．都等于0 D．互为相反数【分析】当未知数y的系数相等时，两式相减即可直接消去未知数y；当未知数y的系数互为相反数时，两式相加，即可消去未知数y．【解答】解：当y的系数相等时，①﹣②可直接消去未知数y，故选：B．二．填空题（共5小题）11．（2021•海港区模拟）已知关于x，y的二元一次方程kx﹣y＝k﹣1．（1）当k＝1和k＝2时，所得两个方程组成的方程组是，这个方程组的解是 　　；（2）当k＝﹣1和k＝﹣2时，所得两个方程组成的方程组是，这个方程组的解是 　　；（3）猜想：无论k取何值时，关于x，y的方程kx﹣y＝2k﹣3一定有一个解是 　　．【分析】（1）利用加减消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可；（3）归纳总结确定出所求即可．【解答】解（1），②﹣①得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝1，∴．故答案为：．（2），①﹣②得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝1，∴．故答案为：．（3）由题kx﹣y＝2k﹣3可得：y＝k（x﹣2）+3，当x＝2时，y＝3，等式成立与k值无关，∴无论k取何值，关于x，y的方程kx﹣y＝2k﹣3一定有一个解是．故答案为：．12．（2021•玉田县二模）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是 　67cm2　，若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？　不变　（填“变”或“不变”）．【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出小长方形的长和宽，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出阴影部分的面积，由该值为定值可得出：若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积不变．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：，解得：，∴19×（7+2y）﹣6xy＝19×（7+2×3）﹣6×10×3＝67，∴若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积不变．故答案为：67cm2；不变．13．（2021•保定模拟）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．（1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　；（2）运动1秒时，点P表示的数是 　0　；（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．当点P运动 　6　秒时，点P与点Q相遇．【分析】（1）由AB的长、点A表示的数及点B在点A的左侧，可求出点B表示的数；（2）利用1秒后点P表示的数＝点A表示的数﹣点P运动的速度×运动时间，即可求出结论；（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为6﹣6t，点Q表示的数为﹣4﹣4t，由点P，Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵A、B两点间的距离为10，点A表示的数为6，且点B在点A的左侧，∴点B表示的数为6﹣10＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）运动1秒时，点P表示的数为6﹣6＝0，故答案为：0；（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为6﹣6t，点Q表示的数为﹣4﹣4t．依题意，得：6﹣6t＝﹣4﹣4t，解得：t＝5，∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇，故答案为：5．14．（2020•丰南区二模）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是　44cm2　，若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？　不变　（填“变”或“不变”）．【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，利用长方形的对边相等，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：，解得：，∴图中阴影部分面积为14×（6+2y）﹣6xy＝44（cm2）．无论怎么平移这六个长方形，阴影部分的面积均为14×（6+2y）﹣6xy＝44（cm2）．故答案为：44cm2；不变．15．（2020•长安区模拟）若关于x、y的方程组的解是，则mn的值为　﹣2　．【分析】将代入方程组即可求出m与n的值．【解答】解：将代入，∴，∴，∴mn＝﹣2，故答案为：﹣2．三．解答题（共3小题）16．（2021•路南区二模）小明到某水果店购买苹果和梨，他发现一人购买1千克苹果和2千克梨共花费了26元，另一人购买2千克苹果和1千克梨共花费了22元．（1）妈妈给小明带了20元钱，想购买1千克苹果和1千克梨，小明带的钱够用吗？说明理由；（2）到家后妈妈给小明出了一道题：如果给你带100元钱，①当购买苹果和梨的重量相等时，最多能够买多少千克苹果？（千克只取整数）②当购买苹果的重量是梨的重量的2倍时，最多能够买多少千克苹果？（千克只取整数）【分析】（1）设1千克苹果的价格为x元，1千克梨的价格为y元，根据“购买1千克苹果和2千克梨共花费了26元，购买2千克苹果和1千克梨共花费了22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x+y）中可求出购买1千克苹果和1千克梨所需费用，将其与20比较后可得出小明带的钱够用；（2）①设可以购买m千克苹果，则购买m千克梨，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出最多能够买6千克苹果；②设可以购买n千克苹果，则购买n千克梨，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过100元，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，再结合n，n均为正整数，即可得出最多能够买8千克苹果．【解答】解：（1）小明带的钱够用，理由如下：设1千克苹果的价格为x元，1千克梨的价格为y元，依题意得：，解得：，∴x+y＝6+10＝16．∵20＞16，∴小明带的钱够用．（2）①设可以购买m千克苹果，则购买m千克梨，依题意得：6m+10m≤100，解得：m≤6，又∵m为正整数，∴m的最大值为6．答：最多能够买6千克苹果．②设可以购买n千克苹果，则购买n千克梨，依题意得：6n+10n≤100，解得：n≤9，又∵n，n均为正整数，∴n的最大值为8．答：最多能够买8千克苹果．17．（2021•唐山一模）对于实数a、b，定义关于“※”的一种运算：a※b＝2a+b．例如1※3＝2×1+3＝5．（1）求4※（﹣3）的值；（2）若x※y＝﹣2，（2y）※x＝﹣1，求x和y的值．【分析】（1）根据新定义直接代入即可；（2）由已知可得方程组，解出方程组即可．【解答】解：（1）4※（﹣3）＝4×2+（﹣3）＝8﹣3＝5；（2）∵x※y＝﹣2，（2y）※x＝﹣1，∴②×2，得8y+2x＝﹣2③，解得y＝0，将y＝0代入①得x＝﹣1，∴x＝﹣1，y＝0．18．（2021•迁西县模拟）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数a，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师能立刻说出观众想的那个数．（1）如果小明想的数是﹣1，那么她告诉魔术师的结果应该是 　1　；（2）如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为42，那么魔术师立刻说出小明想的那个数是 　40　；（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数．请通过计算说明这个魔术的奥妙．【分析】（1）利用已知条件，这个数按步骤操作，直接代入即可；（2）假设这个数，根据运算步骤，求出结果等于42，得出一元一次方程，即可求出；（3）结合（2）中方程，关键是发现运算步骤的规律．【解答】解：（1）根据题意知：（﹣1×2﹣4）÷2+4＝1．故答案是：1；（2）设小明想的数是x，则（2x﹣4）÷2+4＝42．解得x＝40．故答案是：40．（3）观众心想的数为a，则根据题意得：．因此，魔术师只要将最终结果减去2，就能得到观众想的数了．