专题18 勾股定理实际应用

专题18 勾股定理实际应用

一．选择题

1．如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离BD（　　）

A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对

解：由题意得：在Rt△AOB中，OA＝4米，AB＝5米，

∴OB＝＝3米，

在Rt△COD中，OC＝2米，CD＝5米，

∴OD＝＝米，

∴BD＝OD﹣OB＝（﹣3）≈1.58（米）．

故选：A．

2．在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为（　　）

A． B． C． D．

解：如图所示：

△CEF是直角三角形，∠CEF＝90°，CE＝4，EF＝1，

∴∠AEF+∠CED＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠D＝90°，AD＝CD，

∴∠DCE+∠CED＝90°，

∴∠AEF＝∠DCE，

∴△AEF∽△DCE，

∴＝＝，

设AE＝xcm，则AD＝CD＝4xcm，

∴DE＝AD﹣AE＝3xcm，

在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝42，

解得：x＝，

∴AD＝4×＝．

故选：B．

3．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺．

A．10 B．12 C．13 D．14

解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，

根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，

解得：x＝12，

芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），

答：芦苇长13尺．

故选：C．

4．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何？”大意是说：如图，推开双门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB为（　　）

A．103寸 B．102寸 C．101寸 D．100寸

解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，

则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1．

在Rt△ADE中，

AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，

解得2r＝101．

故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．

故选：C．

5．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（　　）

A．9m B．14m C．11m D．10m

解：如图，作BD⊥OC于点D，

由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，

∵OC＝6m，

∴DC＝4m，

∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），

∴大树的高度为5+5＝10（m），

故选：D．

6．将一根长度为16cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至D点（如图），则该弹性皮筋被拉长了（　　）

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm

解：连接CD，

∵中点C竖直向上拉升6cm至D点，

∴CD是AB的垂直平分线，

∴∠ACD＝90°，AC＝BC＝AB＝8cm，AD＝BD，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：

AD＝＝＝10（cm），

∴BD＝10cm，

∴AD+BD＝20cm，

∵AB＝16cm，

∴该弹性皮筋被拉长了：20﹣16＝4（cm），

故选：B．

7．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EB的长是（　　）km

A．4 B．5 C．6 D．

解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，

由勾股定理得：

在Rt△ADE中，

DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，

在Rt△BCE中，

CE2＝BC2+BE2＝62+x2，

由题意可知：DE＝CE，

所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，

解得：x＝4km．

所以，EB的长是4km．

故选：A．

8．某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽都是2.0米，高分别为2.8米，3.1米，3.4米，3.7米，则能通过该工厂厂门的车辆数是（　　）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）

A．1 B．2 C．3 D．4

解：∵车宽2米，

∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线1米处的高度与车高．

在Rt△OCD中，由勾股定理可得：

CD＝＝＝≈1.73（米），

CH＝CD+DH＝1.73+1.6＝3.33，

∴两辆卡车都能通过此门，

故选：B．

9．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝10km，BC＝24km，则M、C两点之间的距离为（　　）

A．13km B．12km C．11km D．10km

解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+CB2

∵AC＝10km，BC＝24km，

∴AB＝26km，

∵M点是AB中点

∴MC＝AB＝13km，

故选：A．

10．如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是（　　）

A．2米 B．2.2米 C．2.5米 D．2.7米

解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：

则∠OEA＝∠BFO＝90°，

∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°

∴∠AOE＝∠OBF

在△AOE和△OBF中，，

∴△AOE≌△OBF（AAS），

∴OE＝BF，AE＝OF，

∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（米）

∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（米），

∵OE+OF＝2EO+EF＝17米，

∴2OE＝17﹣7＝10（米），

∴BF＝OE＝5米，OF＝12米，

∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12（米），OM＝OF+FM＝12+3＝15（米），

由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13（米），

∴MN＝OM﹣ON＝15﹣13＝2（米）．

故选：A．

二．填空题

11．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：

“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）

设木杆长x尺，依题意，列方程是　   　．

解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，

在Rt△ABC中，

∵AC2+BC2＝AB2，

∴102+（x﹣1）2＝x2，

故答案为：102+（x﹣1）2＝x2．

12．一个矩形的抽斗长为12cm，宽为5cm，在抽斗底部放一根铁条，那么铁条最长可以是　   　cm．

解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AC＝＝＝13（cm）．

即铁条最长可以是13cm．

故答案是：13．

13．如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1m，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为5m，利用勾股定理求出旗杆的高度约为　   　m．

解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米，

在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，

解得，x＝12．

答：旗杆的高度为12米．

14．我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈＝10尺，那么折断处离地面的高度是　   　尺．

解：1丈＝10尺，

设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10﹣x）尺，

根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2

解得：x＝4.55．

答：折断处离地面的高度为4.55尺．

故答案为：4.55．

15．图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．

（1）点P到MN的距离为　   　cm．

（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为　   　cm．

解：（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．

由题意：OP＝OQ＝50cm，PQ＝PA﹣AQ＝140﹣60＝80（cm），PM＝PA+BC＝140+60＝200（cm），PT⊥MN，

∵OH⊥PQ，

∴PH＝HQ＝40（cm），

∵cos∠P＝＝，

∴＝，

∴PT＝160（cm），

∴点P到MN的距离为160cm，

故答案为160．

（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．

由题意AT＝PT﹣PA＝160﹣140＝20（cm），OA＝PA﹣OP＝140﹣50＝90（cm），OQ＝50cm，AQ＝60cm，

∵QH⊥OA，

∴QH2＝AQ2﹣AH2＝OQ2﹣OH2，

∴602﹣x2＝502﹣（90﹣x）2，

解得x＝，

∴HT＝AH+AT＝（cm），

∴点Q到MN的距离为cm．

故答案为．

16．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度为　   　m．

解：设CB部分的高度为xm．

∵∠BDC＝∠BCD＝45°，

∴BC＝BD＝xm．

在Rt△BCD中，CD＝＝＝x（m）．

在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，

∴CE＝2BC＝2x（m）．

∵CE＝CF＝CD+DF，

∴2x＝x+2，

解得：x＝2+．

∴BC＝（2+）（m）．

答：CB部分的高度约为（2+）m，

故答案为：（2+）．

17．将折叠书架画出侧面示意图，AB为面板架，CD为支撑架，EF为锁定杆，F可在CD上移动或固定．已知BC＝CE＝8cm．如图甲，将面板AB竖直固定时（AB⊥BD），点F恰为CD的中点．如图乙，当CF＝17cm时，EF⊥AB，则支撑架CD的长度为　   　cm．

解：∵EF⊥AB，CF＝17cm，BC＝CE＝8cm，

∴EF＝cm，

过F作FG⊥AB，

∵AB⊥BD，

∴FG∥BD，

∵点F恰为CD的中点，

∴CG＝BC＝4cm，

∴EG＝8+4＝12cm，

∵EF＝15cm，

∴FG＝cm，

∴BD＝2FG＝18cm，

∴CD＝，

故答案为：2．

三．解答题

18．如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．

解：设CE＝x，则DE＝20﹣x，

由勾股定理得：

在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，

在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，

由题意可知：AE＝BE，

所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3

所以，E应建在距C点13.3km，

即CE＝13.3km．

19．如图，学校有一块长方形花圃ABCD，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．若假设2步为1米，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草？

解：由勾股定理，得

路长＝＝5，

少走（3+4﹣5）×2＝4步．

20．有一条笔直公路l上有A、B两个停靠站，公路旁有一块山地C正在开发，现在C处时常需要爆破作业．如图，已知A、B两站相距2km，且∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，为了安全起见，爆破点C周围半径500米范围内任何人不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封锁？请说明理由．（≈1.73）

解：如图，作CD⊥AB交AB于D点，

∵∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，

∴∠C＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝2，∠ABC＝30°，

∴AC＝1km，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC＝＝（km），

又∵在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，

∴CD＝（km）≈865（m），

∵CD＞500m，

∴不必封锁，

答：公路AB段不需要临时封锁．

21．如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，各自沿固定方向航行，远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB＝20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由．

解：由题意得：OA＝12，OB＝16，AB＝20，

∵122+162＝202，

∴OA2+OB2＝AB2，

∴△OAB是直角三角形，

∴∠AOB＝90°，

∵∠DOA＝60°，

∴∠COB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，

∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°．

22．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．

（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；

（2）求新路CH比原路CA少多少千米？

解：（1）是，

理由是：在△CHB中，

∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，

BC2＝2.25，

∴CH2+BH2＝BC2，

∴CH⊥AB，

所以CH是从村庄C到河边的最近路；

（2）设AC＝x千米，

在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，

由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2

∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，

解这个方程，得x＝1.25，

1.25﹣1.2＝0.05（千米）

答：新路CH比原路CA少0.05千米．