人教版 (2019)必修 第三册3 电势差与电场强度的关系学案

10.3  电势差与电场强度的关系

考点1：对关系式U＝Ed和E＝的理解

1．关系式表明了电场强度与电势差的关系

2.在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析问题，由E＝可以得出结论：

在等差等势面越密的地方场强就越大，如图甲所示。再如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab<Ubc。

【例1】　如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10 C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，电场力做功都是3.0×10－8 J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)a、b两点的电势差Uab；

(2)匀强电场的场强大小和方向。

【解析】　(1)因为正电荷从a到b和从a到c，电场力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，可知场强方向与ac平行，垂直指向bc。

Uab＝＝ V＝60 V。

(2)由U＝Ed可得

E＝＝＝ V/m＝375 V/m

场强方向平行于ac，且由a指向c。

1 在选取场强公式计算电场强度时，首先要注意公式的适用条件，然后判断题目中物理情境是否满足公式的适用条件。

2 应用公式UAB＝Ed计算时，首先要明确所研究的电荷所处的电场必须是匀强电场，其次要明确所要研究的两点的距离应当是沿场强方向两点间的距离。如果给出电场中两点间的距离不是沿场强方向上的距离，则应通过数学知识转化为沿场强方向上的距离。

训练角度1：应用E＝定性分析

1．如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定(　　)

A．φa＞φb＞φc　　 B．Ea＞Eb＞Ec

C．φa－φb＝φb－φc D．Ea＝Eb＝Ec

【解析】A　电场线是沿直线的电场，通常有如图所示几种情况：

题中给出的一条电场线，不一定是哪一种，故B、C、D错误；不论是何种情况的电场，沿着电场线方向电势总是降低的，φa>φb>φc，故A正确。

训练角度2　应用E＝定量计算

2．(多选)如图所示，匀强电场中某电场线上的两点A、B相距0.2 m。正点电荷q＝1×10－6 C从A点移到B点，静电力做功为2×10－6J，则(　　)

A．该电场的电场强度为10 V/m

B．该电场的方向由A指向B

C．A、B两点间的电势差为10 V

D．B点的电势比A点的高

【解析】AB　根据电势差公式有UAB＝＝2 V，由此看出A点的电势高于B点的电势，电场方向由A指向B；根据E＝，得场强为10 V/m，故A、B正确。

考点2：对电场强度的进一步理解

1．关于场强E的几个表达式

2.关于电场强度与电势的理解

(1)电场强度为零的地方电势不一定为零，如等量同种点电荷连线的中点；电势为零的地方电场强度也不一定为零，如等量异种点电荷连线的中点。

(2)电场强度相等的地方电势不一定相等，如匀强电场；电势相等的地方电场强度不一定相等，如点电荷周围的等势面。

【例2】　如图所示，虚线方框内有一匀强电场，A、B、C为该电场中的三点，已知：φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V。试在该虚线框内作出该电场的示意图(画出几条电场线)，并要求保留作图时所用的辅助线。

【解析】　要画电场线，先找等势面(线)。

因为UAC＝18 V、UAB＝6 V，＝3，将线段AC等分成三份，即使AH＝HF＝FC，则φH＝6 V，φF＝0，故B、H等电势。连接BH即为等势线，由电场线与等势面(线)垂直且由高电势指向低电势，可画出电场线如图所示。

1 在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降低都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等，如图甲，AB＝BC，则UAB＝UBC。

2 在匀强电场中，相互平行且相等的线段两点间的电势差相等。如图乙，AB綊CD，则UAB＝UCD。

甲　　　　　　　　乙

3 确定电场方向的方法：先由等分法确定电势相等的点，画出等势面(线)，然后根据电场线与等势面(线)垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面(线)指向电势低的等势面(线)。

3.如图所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5 cm，电势差为25 V，在电场中P点固定放置电荷量为5×10－9 C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的(　　)

A．上方30 cm　　　 B．下方30 cm

C．上方25 cm D．下方25 cm

【解析】B　匀强电场的场强E＝＝ V/m＝500 V/m，设距P点L处的合场强为零，则k＝9×109× V/m＝500 V/m，故L＝0.3 m，负点电荷在距P点L处的电场竖直向上，该点在电场中P点的下方，B正确。

◎考点一　对关系式U＝Ed和E＝的理解

1．关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系，下列说法正确的是(　　)

A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积

B．沿电场线方向上，相同距离上电势降落一定相等

C．电势降落的方向一定是电场强度的方向

D．电势降落最快的方向不一定是电场强度的方向

【解析】B　公式UAB＝Ed中的d是沿电场强度的方向上两点间的距离，A错误；沿电场线方向上，相同距离上电势降落相等，B正确；在匀强电场中，沿不同方向电势均可减小，但沿电场强度方向电势降落最快，C、D错误。

2．正常情况下空气是不导电的，但是如果空气中的电场很强，空气也可以被击穿，空气被击穿时会看到电火花或闪电。若观察到某次闪电的火花长约100 m，且已知空气的击穿电场强度为3×106 V/m，那么发生此次闪电的电势差约为(　　)

A．3×108 V　　　 B．3×106 V

C．3×104 V D．3×10－5 V

【解析】A　将空气中的电场视为匀强电场，由U＝Ed，可得U＝3×108 V，A正确。

3．如图所示，三个同心圆是点电荷q周围的三个等势面，A、B、C是这三个等势面与一条电场线的交点，且AB＝BC。A、C两点的电势分别为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势(　　)

A．等于6 V B．低于6 V

C．高于6 V D．无法确定

B　因点电荷所形成的电场离点电荷越远电场强度越小，故有φA－φB＞φB－φC，即φB＜＝6 V，B正确。

4. 如图所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab中点。a、b电势分别为φa＝5 V，φb＝3 V，下列叙述正确的是(　　)

A．该电场在c点处的电势一定为4 V

B．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb

C．一正电荷从c点运动到b点，电势能一定减少

D．一正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c

【解析】CD　该电场不一定是匀强电场，无法比较a、b两点的电场强度大小，c点的电势也不一定为4 V，但电场方向由a→b，正电荷在c点所受电场力方向一定由a指向c，正电荷由c运动到b的过程中，电场力做正功，电势能一定减少，故C、D正确，A、B错误。

5．如图所示，在水平方向的匀强电场中，一电场线上有相距6 cm的A、B两点，且UAB＝150 V，求：

(1)电场强度的大小和方向；

(2)电场中A、C两点相距14 cm，A、C两点连线与电场线方向成37°夹角，则C点与A点的电势差UCA为多少？(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

【解析】　(1)电场强度的大小

E＝＝ V/m＝2.5×103 V/m

方向水平向右。

(2)C点与A点的电势差

UCA＝－EdCAcos 37°＝－280 V。

◎考点二　对电场强度的进一步理解

6．在下列静电学公式中，F、q、E、U和d分别表示静电力、电荷量、电场强度、电势差及距离，①F＝k，②E＝k，③E＝，④U＝Ed，有关四个公式的下列说法中正确的是(　　)

A．它们都只对点电荷或点电荷的电场成立

B．①②③只对点电荷或点电荷的电场成立，④对任何电场都成立

C．①②只对点电荷成立，③对任何电场都成立，④只对匀强电场成立

D．①②只对点电荷成立，③④对任何电场都成立

【解析】C　E＝是电场强度定义式，适用于任何电场；F＝k适用于真空中的点电荷；E＝k是点电荷电场强度决定式，只适用于点电荷；U＝Ed适用于匀强电场，故选项C正确，A、B、D错误。

7.(多选)如图所示，A、B两板间电压为600 V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12 cm，C点离A板4 cm，下列说法正确的是(　　)

A．E＝2 000 V/m，φC＝200 V

B．E＝5 000 V/m，φC＝－200 V

C．电子在C点具有的电势能为－200 eV

D．电子在C点具有的电势能为200 eV

【解析】BD　A板接地，则其电势为零，又因为A、B两板间的电压为600 V，则B板电势为－600 V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝＝＝50 V/cm＝5 000 V/m，φC＝－EdC＝－50×4 V＝－200 V，选项A错误，B正确；电子在C点具有的电势能为200 eV，选项C错误，D正确。

8．(多选)如图所示，在电场中任取一条电场线，a、b两点相距为d，则(　　)

A．a点的场强一定大于b点的场强

B．a点的电势一定高于b点的电势

C．a、b两点的电势差一定等于Ed(E为a点场强)

D．a、b两点的电势差在数值上等于单位正电荷由a沿任意路径移到b点电场力所做的功

【解析】BD　一条电场线无法确定场强的强弱，选项A错误；沿电场线电势逐渐降低，故a点的电势一定高于b点的电势，选项B正确；匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与间距的乘积，该电场不一定为匀强电场，选项C错误；根据电势差的定义式Uab＝可知，a、b两点的电势差在数值上等于单位正电荷由a沿任意路径移到b点电场力所做的功，选项D正确。

9．如图所示在某匀强电场中有M、N、P三点，在以它们为顶点的三角形中，∠M＝30°、∠P＝90°，直角边NP的长度为4 cm。电场方向与三角形所在平面平行。已知M、N和P点的电势分别为3 V、15 V和12 V，则电场强度的大小为(　　)

A．150 V/m　　　　 B．75 V/m

C．225 V/m D．75 V/m

【解析】A　过P点作斜边MN的垂线交MN于O点，由几何知识可知N、O间的距离NO＝2 cm，M、O间的距离MO＝6 cm，由匀强电场的特点和几何关系得O点的电势为φO＝12 V，即O、P两点在同一等势面上，电场强度E＝＝150 V/m，选项A正确，B、C、D错误。

10．如图所示，在某电场中画出了四条电场线，C、D两点是AB连线的三等分点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝0，则(　　)

A．C点的电势＝20 V

B．C点的电势<20 V

C．C点的电势>20 V

D．A、B、C都不正确

【解析】B　由题图看出，AC段电场线比CD段、DB段电场线密，则AC段电场强度最大，根据公式U＝Ed可以知道，A、C间电势差UAC大于C、D间电势差UCD和D、B间电势差UDB。所以UAC>UAB＝(φA－φB)＝10 V，即(φA－φC)>10 V，又φA＝30 V，可以知道φC<20 V。故选项B正确。

11.如图所示的匀强电场场强为1.0×103 N/C，ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm。则下述计算结果正确的是(　　)

A．a、b之间的电势差为40 V

B．a、c之间的电势差为50 V

C．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25 J

D．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25 J

【解析】A　由UAB＝Ed得Uab＝1.0×103×0.04 V＝40 V，A正确；因为a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做的功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10－3)×40 J＝－0.2 J，D错误。

12．如图所示，充电的平行板电容器两板间形成匀强电场，以A点为坐标原点，AB方向为位移x的正方向，能正确反映电势φ随位移x变化的图像是 (　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

【解析】C　沿电场线的方向电势逐渐降低，A、B错误；在匀强电场中电势与场强的关系为U＝Ed，成线性关系，C正确，D错误。

13．如图所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出。现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：

(1)小球应带何种电荷及其电荷量；

(2)小球受到的合外力的大小；

(3)在入射方向上小球运动的最大位移xm。(电场足够大)

【解析】　(1)作电场线如图甲所示。由题意知，小球只有受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图乙所示。只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动。

由图乙知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝，所以q＝＝。

甲　　　　　　　　　乙

(2)由图乙知，

F合＝＝mg。

(3)由动能定理得－F合xm＝0－mv

所以xm＝＝。