高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第8章平面解析几何 8.3（教师版）

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一、选择题

1．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)

A．(x－)2＋(y－1)2＝4

B．(x－)2＋(y－)2＝4

C．x2＋(y－2)2＝4

D．(x－1)2＋(y－)2＝4

答案　D

解析　设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a＝1，b＝，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.

2．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)

A．1＋   B．2 

C．1＋   D．2＋2

答案　A

解析　将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，故选A.

3．圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)

A．x2＋y2＋10y＝0   B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0   D．x2＋y2－10x＝0

答案　B

解析　设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，

∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.

∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.

∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.故选B.

4．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为(　　)

A．3x＋y－5＝0   B．x－2y＝0

C．x－2y＋4＝0   D．2x＋y－3＝0

答案　D

解析　直线x－2y＋3＝0的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，故选D.

5．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　将圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成标准方程，得

2＋(y＋1)2＝1－，∵半径r满足r2＝1－，

当圆取得最大面积时，k＝0，半径r＝1.

因此直线y＝(k－1)x＋2即y＝－x＋2.

得直线的倾斜角α满足tanα＝－1，

∵直线的倾斜角α∈[0，π)，∴α＝.故选A.

6．若方程 －x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围(　　)

A．－4≤m≤4   B．－4≤m≤4

C．－4≤m≤4   D．4≤m≤4

答案　B

解析　由题意知方程＝x＋m有实数解，分别作出y＝与y＝x＋m的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m≤4.故选B.

7．圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)

A．2   B. 

C．4   D.

答案　D

解析　由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)．∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.

8．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1   B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4   D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

答案　A

解析　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，

则即代入x2＋y2＝4，

得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A.

9．已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)

A．3   B．6 

C．4   D．2

答案　D

解析　圆x2＋y2－4x＋2y＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，

圆心M(2，－1)，半径r＝，最长弦为圆的直径，∴AC＝2.

∵BD为最短弦，∴AC与BD垂直，易求得ME＝，

∴BD＝2BE＝2＝2.

S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝BD·EA＋BD·EC＝BD·(EA＋EC)

＝BD·AC＝×2×2＝2.故选D.

10．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，则x＋y的最大值与最小值是(　　)

A．6＋2，6－2   B．6＋，6－

C．4＋2，4－2   D．4＋，4－

答案　A

解析　设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，

显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，

b取得最大值或最小值，如图所示．

由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，

可得＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，

所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.故选A.

二、填空题

11．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．

答案　(x－2)2＋y2＝9

解析　因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.

12．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．

答案　(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9

解析　∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，

∴设所求圆的圆心为(3a，a)，

又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|

又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，

圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，

∴d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.

故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.

13．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆心坐标是________．

答案　(－2，－4)

解析　∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，

∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2，

当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，

配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，

所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；

当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋2.5＝0，

此时D2＋E2－4F<0，方程不表示圆，

所以圆心坐标为(－2，－4)．

14．已知圆O：x2＋y2＝8，点A(2,0)，动点M在圆上，则∠OMA的最大值为________．

答案　

解析　设|MA|＝a，因为|OM|＝2，|OA|＝2，

由余弦定理知cos∠OMA＝

＝＝≥×2＝，

当且仅当a＝2时等号成立，∴∠OMA≤，即∠OMA的最大值为.

三、解答题

15．已知圆S经过点A(7,8)和点B(8,7)，圆心S在直线2x－y－4＝0上．

(1)求圆S的方程；

(2)若直线x＋y－m＝0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围．

解　(1)线段AB的中垂线方程为y＝x，

由得所以圆S的圆心为S(4,4)，

圆S的半径为|SA|＝5，故圆S的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25.

(2)由x＋y－m＝0变形得y＝－x＋m，代入圆S的方程，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－8m＋7＝0.

令Δ＝(－2m)2－8(m2－8m＋7)>0，得

8－5<m<8＋5.

设C，D的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝m，x1x2＝.

依题意，得·<0，即x1x2＋(－x1＋m)(－x2＋m)<0，即m2－8m＋7<0，解得1<m<7.

故实数m的取值范围是{m|8－5<m<8＋5}∩{m|1<m<7}＝{m|1<m<7}．

16．已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且y轴被圆截得的弦长为4，半径小于5.

(1)求直线PQ与圆C的方程；

(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

解　(1)由题意知直线PQ的方程为x＋y－2＝0.

设圆心C(a，b)，半径为r，

由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，即y＝x－1，所以b＝a－1.①

由圆C在y轴上截得的线段的长为4，

知r2＝12＋a2，

可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2，②

由①②得a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.

当a＝1，b＝0时，r2＝13，满足题意，

当a＝5，b＝4时，r2＝37，不满足题意．

故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.

(2)设直线l的方程为y＝－x＋m(m≠2)，

A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)．

由题意可知OA⊥OB，即·＝0，

∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0，

化简得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0.③

由

得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，

∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝，

代入③，得m2－12－m·(1＋m)＋m2＝0，

∴m＝4或m＝－3，经检验都满足题意，

∴直线l的方程为x＋y－4＝0或x＋y＋3＝0.