高考数学(文数)一轮复习考点测试10《对数与对数函数》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试10《对数与对数函数》（教师版），共9页。试卷主要包含了故选D，故选C，故选A，计算等内容，欢迎下载使用。

eq \a\vs4\al(高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度)
考纲研读
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用
2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点
3．体会对数函数是一类重要的函数模型
4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数
一、基础小题
1．lg225·lg32eq \r(2)·lg59＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 D
解析 原式＝eq \f(lg 25,lg 2)·eq \f(lg 2\r(2),lg 3)·eq \f(lg 9,lg 5)＝eq \f(2lg 5,lg 2)·eq \f(\f(3,2)lg 2,lg 3)·eq \f(2lg 3,lg 5)＝6．故选D．
2．函数y＝eq \r(lg\f(1,2)3x－2)的定义域是( )
A．[1，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
答案 D
解析 lgeq \f(1,2)(3x－2)≥0＝lgeq \f(1,2)1，0<3x－2≤1，eq \f(2,3)3．已知lg5[lg3(lg2x)]＝0，那么实数x＝( )
A．5 B．3 C．8 D．1
答案 C
解析 由lg5[lg3(lg2x)]＝0，得lg3(lg2x)＝1，则lg2x＝3，所以x＝8．故选C．
4．函数f(x)＝lg (x＋1)＋lg (x－1)( )
A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
答案 C
解析 函数f(x)的定义域为{x|x>1}，定义域不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数，故选C．
5．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为( )
A．－lg23 B．－lg32 C．eq \f(1,9) D．eq \r(3)
答案 B
解析 由y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，知f(x)＝lg3x，
从而feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg3eq \f(1,2)＝－lg32，故选B．
6．已知lgeq \f(1,2)b<－lg2a<－2lg4c，则( )
A．b>a>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>b>c
答案 A
解析 因为－lg2a＝lgeq \f(1,2)a，－2lg4c＝lgeq \f(1,2)c，由lgeq \f(1,2)b<－lg2a<－2lg4c，
知lgeq \f(1,2)ba>c．
故选A．
7．当0A．x3<3x答案 C
解析 在同一坐标系中作出函数y＝x3，y＝3x，y＝lg3x，x∈(0，3)的图象，
由图象可得当x∈(0，3)时，大小关系是lg3x8．已知lg23＝a，lg37＝b，则lg4256＝( )
A．eq \f(3＋ab,1＋a＋ab)B．eq \f(3a＋b,a＋a2＋b) C．eq \f(3＋b,1＋a＋b)D．eq \f(1＋a＋ab,3＋ab)
答案 A
解析 lg4256＝eq \f(lg256,lg242)＝eq \f(3＋lg27,1＋lg23＋lg27)＝eq \f(3＋lg23·lg37,1＋lg23＋lg23·lg37)＝eq \f(3＋ab,1＋a＋ab)．故选A．
9．设x，y，z均为大于1的实数，且lg2x＝lg3y＝lg5z，则x3，y5，z2中最小的是( )
A．z2 B．y5 C．x3 D．三个数相等
答案 C
解析 因为x，y，z均为大于1的实数，所以lg2x＝lg3y＝lg5z>0，
不妨设lg2x＝lg3y＝lg5z＝t，则x＝2t，y＝3t，z＝5t，
所以x3＝23t＝8t，y5＝35t＝243t，z2＝52t＝25t，又y＝xt在(0，＋∞)上单调递增，
故x3最小．故选C．
10．计算：9eq \f(1,2)－lg95＝________．
答案 eq \f(3,5)
解析 9eq \f(1,2)－lg95＝9eq \f(1,2)×9－lg95＝3×eq \f(1,5)＝eq \f(3,5)．
11．若a＝lg43，则2a＋2－a＝________．
答案 eq \f(4\r(3),3)
解析 因为a＝lg43，则4a＝3，即2a＝eq \r(3)，所以2a＋2－a＝eq \r(3)＋eq \f(1,\r(3))＝eq \f(4\r(3),3)．
12．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋6，x≤2，,3＋lgax，x>2))(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，2]
解析 当x≤2时，－x＋6≥4恒成立，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需f(x)＝3＋lgax(x>2)的值域包含于[4，＋∞)，故a>1，又f(x)＝3＋lgax在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)>3＋lga2，所以3＋lga2≥4，解得1二、高考小题
13．已知a＝lg3eq \f(7,2)，b＝eq \f(1,4)eq \f(1,3)，c＝lgeq \f(1,3)eq \f(1,5)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 ∵b＝eq \f(1,4)eq \f(1,3)lg33＝1，c＝lgeq \f(1,3)eq \f(1,5)＝lg35>lg3eq \f(7,2)＝a，∴c>a>b．故选D．
14．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (2－x) C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x)
答案 B
解析 函数y＝ln x过定点(1，0)，(1，0)关于x＝1对称的点还是(1，0)，
只有y＝ln (2－x)过此点，故选B．
15．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与eq \f(M,N)最接近的是(参考数据：lg 3≈0．48)( )
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
答案 D
解析 由题意，lgeq \f(M,N)＝lgeq \f(3361,1080)＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0．48－80×1＝93．28．又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与eq \f(M,N)最接近的是1093．故选D．
16．若a>b>1，0A．ac答案 C
解析 解法一：由a>b>1，0bc，A错误；
∵0ac－1，
又ab>0，∴ab·bc－1>ab·ac－1，即abc>bac，B错误；
易知y＝lgcx是减函数，∴0>lgcb>lgca，∴lgbc由lgbc－lgac>0，
又a>b>1>0，∴－algbc>－blgac>0，∴algbc解法二：依题意，不妨取a＝10，b＝2，c＝eq \f(1,2).易验证A，B，D均是错误的，只有C正确．
17．已知函数f(x)＝lg2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________.
答案 －7
解析 根据题意，有f(3)＝lg2(9＋a)＝1，可得9＋a＝2，所以a＝－7.
18．已知a>b>1.若lgab＋lgba＝eq \f(5,2)，ab＝ba，则a＝_______，b＝________.
答案 4 2
解析 令lgab＝t，∵a>b>1，∴0解得t＝eq \f(1,2)或t＝2(舍去)，即lgab＝eq \f(1,2)，∴b＝eq \r(a)，又ab＝ba，∴aeq \r(a)＝(eq \r(a))a，
即aeq \r(a)＝aeq \f(a,2)，亦即eq \r(a)＝eq \f(a,2)，解得a＝4，∴b＝2.
三、模拟小题
19．若lg 2，lg (2x＋1)，lg (2x＋5)成等差数列，则x的值等于( )
A．1 B．0或eq \f(1,8) C.eq \f(1,8)D．lg23
答案 D
解析 由题意知lg 2＋lg (2x＋5)＝2lg (2x＋1)，2(2x＋5)＝(2x＋1)2，
(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝lg23.故选D.
20．计算lg29×lg34＋2lg510＋lg50.25＝( )
A．0 B．2 C．4 D．6
答案 D
解析 由对数的运算公式和换底公式可得：
lg29×lg34＋2lg510＋lg50.25＝2lg23×eq \f(lg24,lg23)＋lg5(102×0.25)＝4＋2＝6.故选D.
21．已知a＝2－eq \f(1,3)，b＝lg2eq \f(1,3)，c＝lgeq \f(1,2)eq \f(1,3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 ∵a＝2－eq \f(1,3)∈(0，1)，b＝lg2eq \f(1,3)<0，c＝lgeq \f(1,2)eq \f(1,3)＝lg23>1，∴c>a>b，故选D.
22．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝lga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为( )
答案 A
解析 由题意，知函数f(x)＝2－ax(a>0，且a≠1)为单调递减函数，当02，且函数g(x)＝lga(x＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数；当a>1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝eq \f(2,a)<2，且函数g(x)＝lga(x＋2)在(－2，＋∞)上为单调递增函数．综上，选A.
23．设x，y，z均大于1，且lgeq \r(2)x＝lgeq \r(3)y＝lgeq \r(5)z，令a＝xeq \f(1,2)，b＝yeq \f(1,3)，c＝zeq \f(1,4)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a
答案 D
解析 令lgeq \r(2)x＝lgeq \r(3)y＝lgeq \r(5)z＝t(t>0)，则x＝(eq \r(2))t，y＝(eq \r(3))t，z＝(eq \r(5))t，
∴a＝2eq \f(t,4)，b＝3eq \f(t,6)，c＝5eq \f(t,8)，∵23<32，∴23×eq \f(t,12)<32×eq \f(t,12)⇒a∵34<53，∴34×eq \f(t,24)<53×eq \f(t,24)⇒b24．已知函数f(x)＝lg0.5(sinx＋cs2x－1)，x∈0，eq \f(π,2)，则f(x)的取值范围是( )
A．(－∞，2]B．(－∞，－2] C．[2，＋∞) D．[－2，＋∞)
答案 C
解析 设g(x)＝sinx＋cs2x－1＝sinx＋1－sin2x－1＝－sin2x＋sinx，x∈0，eq \f(π,2)，
∵0一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．已知函数y＝f(x)＝lg3(9x)·lg3(3x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，9)).
(1)若t＝lg3x，求t的取值范围；
(2)求f(x)的最值及取得最值时对应的x的值．
解 (1)由t＝lg3x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，9))，解得－2≤t≤2.
∴t的取值范围为[－2，2]．
(2)f(x)＝(lg3x)2＋3lg3x＋2，
令t＝lg3x，则y＝t2＋3t＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(3,2)))2－eq \f(1,4)，t∈[－2，2]．
当t＝－eq \f(3,2)，即lg3x＝－eq \f(3,2)，即x＝eq \f(\r(3),9)时，f(x)min＝－eq \f(1,4)；
当t＝2，即lg3x＝2，即x＝9时，f(x)max＝12.
2．已知函数f(x)＝lg2(2－x)－lg2(x＋2)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并加以证明；
(3)若f(x)解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x>0，,x＋2>0，))得－2所以函数f(x)的定义域为(－2，2)．
(2)由(1)的结论可知f(x)的定义域关于原点对称，
又因为f(－x)＝lg2(2＋x)－lg2(－x＋2)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)由f(x)＝lg2(2－x)－lg2(x＋2)得h(x)＝ax2＋(2a＋1)x－2>0在x∈eq \f(1,2)，1上恒成立，
又因为a>0，对称轴为x＝eq \f(－2a－1,2a)<0，
由图象可得heq \f(1,2)＝eq \f(5a,4)－eq \f(3,2)>0，得a>eq \f(6,5).
3．已知函数f(x)＝－x＋lg2eq \f(1－x,1＋x).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2019)))的值；
(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0，1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由f(x)＋f(－x)＝lg2eq \f(1－x,1＋x)＋lg2eq \f(1＋x,1－x)＝lg21＝0，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2019)))＝0.
(2)f(x)的定义域为(－1，1)，
∵f(x)＝－x＋lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(2,x＋1)))，
当x∈(－1，1)时，f(x)为减函数，
∴当a∈(0，1)，x∈(－a，a]时f(x)单调递减．
∴当x＝a时，f(x)min＝－a＋lg2eq \f(1－a,1＋a).
4．已知函数f(x)＝lg2(1＋2x＋1＋4xa)＋bx(a，b∈R)．
(1)若a＝1，且f(x)是偶函数，求b的值；
(2)若f(x)在(－∞，－1)上有意义，求实数a的取值范围；
(3)若a＝4，且A＝{x|f(x)＝(b＋1)(x＋1)}＝∅，求实数b的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝lg2(1＋2x＋1＋4x)＋bx＝2lg2(1＋2x)＋bx.
又f(x)是偶函数，则f(x)－f(－x)＝0，即2lg2eq \f(1＋2x,1＋2－x)＋2bx＝0，
即2x＋2bx＝0，所以b＝－1.
(2)f(x)在(－∞，－1)上有意义，则对任意的x∈(－∞，－1)，1＋2x＋1＋4xa>0恒成立，
即对任意的x∈(－∞，－1)，a>－eq \f(1,4)x－eq \f(1,2)x－1恒成立．
设g(x)＝－eq \f(1,4)x－eq \f(1,2)x－1，由指数函数的单调性易得g(x)在(－∞，－1)上是增函数，
所以g(x)由a>g(x)对任意的x∈(－∞，－1)恒成立，得a≥－8，
即实数a的取值范围是[－8，＋∞)．
(3)当a＝4时，f(x)＝(b＋1)(x＋1)⇔lg2(1＋2x＋1＋4x＋1)－x＝b＋1
⇔lg2eq \f(1,2x)＋2x＋2＋2＝b＋1.
由A＝∅，可得方程lg2eq \f(1,2x)＋2x＋2＋2＝b＋1无实根．
因为eq \f(1,2x)＋2x＋2＋2≥2eq \r(\f(1,2x)×2x＋2)＋2＝6，
所以lg2eq \f(1,2x)＋2x＋2＋2≥lg26，
所以当b＋1故实数b的取值范围是(－∞，lg23)．