人教版八年级上册数学知识点梳理与复习因式分解的用途广教案

因式分解的用途广

在学习了因式分解后，除对多项式进行分解因式外，其还有其它广泛的用途..下面分类举例说明，以帮助同学们了解它的不凡身手..

一、一个多项式可以分解成某种形式，求字母的值或单项式

例1、若是一个完全平方式，求的值.

解析：由题意，得：原式=

又所以

解得或

注意：一个完全平方式有二种情况..

例2； 若多项式能用平方差公式分解因式，则单项式=__(写出一个即可).

（提示 ：答案不惟一，只要符合要求即可，如：-1、-4、、、等等.）

二、求条件代数式的值

例3、己知m+n=3,则2m+4mn+2n-6的值..

析解：通过把己知条件变形转化为用其中一个字母的式子表示另一个字母，再代入待求式求值可行，但较为麻烦；若先将待求式部分分解因式，再把己知中的条件作为整体代入就方便了.

 2m+4mn+2n-6=2（m+n）-6=12

三、计算

例4、计算：

解析：本题可用乘法公式和整式的加减进行计算，若利用因式分解进行计算，可谓别开生面.

原式==

   =

四、用于求最值

例5、已知实数x、y满足x2－2x+4y=5，则x+2y的最大值为      .

解析：先对含的式子利用因式分解化为完全平方形式，利用平方数为非负，求出的最大值.

因式分解，得，从而可得.

又≥0，所以≥0，因此故的最大值为.

五、解决实际问题

例6 、在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可)．(2005年浙江中考题)

解析：按照题中给出的材料，先把多项式分解因式，然后把x、y的值代入便可产生六位数的密码.

由于=，取x=10，y=10时，=30，=10，于是可把“103010”作为一个六位数的密码，

考虑到乘法满足交换律，因此还可得到两个六位数的密码“101030”或“301010”.故可在三个六位数的密码103010、101030、301010中任写一个.

六、探索规律

    例7、老师在黑板上写出三个算式：

王华接着又写了两个具有同样规律的算式：

(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；

(2)用文字写出反映上述算式的规律；

(3)证明这个规律的正确性.

解析：仔细观察老师及王华写出的算式，可发现奇数的平方差等于8的倍数，从而有

(1)如

(2)规律：任意奇数的平方差等于8的倍数；

(3)证明：设为整数，两个奇数可表示为

则

当同是奇数或偶数时，一定为偶数，所以一定是8的倍数；当一奇一偶时，则一定为偶数，所以一定是8的倍数.

所以，任意两个奇数的平方差是8的倍数.