浙江省丽水市2021-2022学年高二上学期普通高中教学质量监控（期末）数学试题含答案

丽水市2021学年第一学期普通高中教学质量监控

  高二数学试题卷 （2022.01）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

    1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上。

 2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

选择题部分（共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．在平面直角坐标系中，直线经过点，，则直线的斜率为

A．           B．           C．           D．

2．在等差数列中，若，则

A．            B．           C．            D．

3．抛物线的准线方程为

A．        B．       C．        D．

4．如图，在长方体中，是线段中点，若，

则

A．          B．           

C．          D．3 

5．空间中两条不同的直线，和平面，则下列命题中正确的是

A．若，，则       

B．若，，则

C．若，，则     

D．若，，则

6．已知函数的导函数图象如图所示，

则函数图象是    

A.               B.                C.              D.

7．已知三棱锥中，，分别是的中点，，则与所成的角大小为

A.                   B.            

C.                  D.

8．在数列，中，满足，且，若，则

A．5050             B．5100           C．10050         D．10100 

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．如图，一缕阳光从圆形的窗孔射入，在水平地面上形成椭圆形光斑（轮廓为椭圆），若光线与水平地面所成的角为，则下列是说法正确的是

A．椭圆的离心率   

B．椭圆的离心率

C．椭圆的离心率随的增大而减小

D．椭圆的离心率随的增大而增大

10．已知是等比数列的前项和，且，，下列结论一定成立的是

A．若为偶数，则  B．若为奇数，则 

C．若为偶数，则  D．若为奇数，则

11．已知函数的极大值点为，则

A.                             B.   

C. 若，则   D. 若，则

12．如图，在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面或内部一点，直线，与底面所成的角分别记为，且，记动点的轨迹与棱的交点为，则下列说法正确的是

A. 为中点  

B. 线段长度的最小值为

C. 存在一点，使得平面

D. 若在正四棱柱表面，

则点的轨迹长度为

非选择题部分（共90分）

三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

13．已知，若，则   ▲    .

14．已知圆与圆，则圆心距   ▲    .

15．我国南北朝著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，若截得的两个截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．在数学上运用祖暅原理推导球的体积公式时，构造了一个底面半径与高都为的圆柱内挖掉一个等高的圆锥的几何体（如图所示），则该几何体的体积为   ▲    .

16．已知，分别是双曲线，的左、右焦点，双曲线上有一点，满足，且，则该双曲线离心率的取值范围是   ▲    .

17．在第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平主席表示，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．某地2020年共发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，从2021年起，每年发放的电动型汽车牌照按前一年的50%增长，燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张，同时规定，若某年发放的汽车牌照超过15万张，以后每年发放的电动车牌照的数量维持在这一年的水平不变。那么从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为   ▲    万张．

18．已知函数且有两个不同的零点，则的取值范围是

   ▲    .

四、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（本题满分10分）已知圆的圆心为点，且与轴相切.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）求直线被圆所截得的弦长．

20．（本题满分10分）已知三棱柱中，，，

．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若二面角的大小为，

求直线与平面所成角的大小．

21．（本题满分12分）已知函数，．

注：是自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）记函数的导函数为，求证：．

22．（本题满分14分）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，数列

满足：，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）（i）若，记，求数列的前项和；

（ii）若，证明：．

23．（本题满分14分）如图，椭圆：的右焦点为，椭圆：，椭圆的切线、交椭圆于、、三点，

切点分别为、.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求证：点是线段的中点；

（Ⅲ）求四边形面积的最大值．

丽水市2021学年第一学期普通高中教学质量监控

     高二数学答案  （2022.01）

一．选择题

二．填空题

13.          14.          15.    

16.             17.          18.

三．解答题

19.解：（Ⅰ） 圆的圆心为点，且与轴相切，圆的半径圆

故圆的方程为；…………………………………………4分

（Ⅱ）圆的圆心

点到直线的距离为

所求的弦长为.……………………………10分

20.解：（Ⅰ）取的中点，连接，

三棱柱中，，

又，在面内的射影在上

，又，面

.……………………………………………………………………5分

（Ⅱ）取的中点，连接，由（1）知， ，

又，

是二面角的平面角，.

设，

法一：如图建系，

有，

设面的法向量为，则

，    解得面的一个法向量

所以与面所成角的正弦值为,

所以与面所成角为.

法二：过作于点，则面，

是与面所成的角

在平行四边形中，，

，

中，，

所以与面所成角为.………………………………………………10分

21.解：（Ⅰ）

单调递增；单调递减；

………………………………………………………………6分

（Ⅱ）

在上单调递减，在上单调递增

又

.……………………………………………………………………12分

22. 解：（I）数列是以为首项，为公比的等比数列

，即…………………………………………………4分

（II）(i) ，

两边同时除以，得，又

数列是以2为首项，公差为1的等差数列，，

，，

，

两式相减可得，

……………………………………………………………………9分

(ii)

累加得，，

时，

，

时，，

综上，原不等式成立.……………………………………………………………………14分

23.解：（I）， ，………………………………………3分

（II）当直线斜率存在时，设，与联立

得

（*）

设，

当时，，即

，易得，

从而点是线段的中点

当直线斜率不存在时，易知点仍是线段的中点，

所以，点是线段的中点.………………………………………………………7分

（III）由（II）易知，点是线段的中点，

，

当直线斜率存在时

，由（*）得，

当直线斜率不存在时, ，此时，，

，同理，

当时，的最大值为.………………………………………14分