综合检测试卷(二)学案

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综合检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在等差数列{an}中，a4＝2，a8＝14，则a15等于(　　)
A．32 B．－32 C．35 D．－35
答案　C
解析　∵{an}是等差数列，
∴d＝＝3，
∴a15＝a4＋11d＝2＋11×3＝35.
2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a等于(　　)
A．3 B．1 C．2 D．－1
答案　B
解析　f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，
则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
3．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，
a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×＝－，
a5＝(－1)5×2×＝.
4．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　D
解析　令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－ .
由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，
则有a－1＝2，所以a＝3.
5．已知等差数列{an}共有10项，其偶数项之和为20，奇数项之和为5，则该数列的公差为(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案　D
解析　∵a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5，a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝20，∴5d＝15，∴d＝3.
6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有(　　)
A.(87－8)人 B.(89－8)人
C.人 D.人
答案　D
解析　由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，
所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有
8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝人．
7．设曲线y＝sin x上任一点(x，y)处的切线斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为(　　)


答案　C
解析　由曲线方程y＝sin x，可知g(x)＝cos x，
所以y＝x2g(x)＝x2cos x为偶函数，排除A，B；
当x＝0时，y＝0，排除D，故选C.
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－16n，则等于(　　)
A．－55 B．0 C．55 D．73
答案　D
解析　∵Sn＝n2－16n，∴当n＝1时，a1＝－15，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－16n－[(n－1)2－16(n－1)]＝2n－17，
令an≤0，解得n≤8，
令Tn＝＝－a1－a2－a3－…－a8＋a9＋a10＋a11
＝15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＋3＋5＝73.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a0，
所以f(x)－g(x)在[a，b]上单调递增，
所以当af(a)－g(a)，
所以f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)，f(x)＋g(b)0，
所以函数f(x)在R上为增函数，又f(0)＝0，所以函数f(x)有且只有一个零点，B选项错误；
对于C选项，f′(x)＝cos x＋3x2－a，
由于函数f(x)为增函数，则f′(x)≥0对任意的x∈R恒成立，即a≤3x2＋cos x.
令g(x)＝3x2＋cos x，则g′(x)＝6x－sin x，令φ(x)＝6x－sin x，则φ′(x)＝6－cos x>0，
所以函数g′(x)在R上为增函数，
当xg′(0)＝0，函数g(x)单调递增．
所以g(x)min＝g(0)＝1，∴a≤1，C选项正确；
对于D选项，当a＝3时，f(x)＝sin x＋x3－3x，则f′(x)＝cos x＋3x2－3.
由C选项可知，函数f′(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∵f′(－1)＝f′(1)＝cos 1>0，f′(0)＝－20成立的最大正整数n的值为________．
答案　673
解析　由an＝2 021－3n>0，
得n0时，f(x)在区间(1,2)上单调递增．
若a7.25，即n≥8，不成立，
当n≥6时，an＝1 000(1－0.6n－5)>500，即0.6n－5－x－1.
(1)解　f′(x)＝ex＋xex－2x－2＝(x＋1)(ex－2)，
当x∈(－1，ln 2)时，f′(x)0，
∴f(x)在[－1，ln 2)上单调递减，在(ln 2,1]上单调递增，∴f(x)max＝max，
又f(－1)＝－－1＋2－1＝－，f(1)＝e－1－2－1＝e－4，
∴f(x)max＝f(－1)＝－.
(2)证明　要证f(x)>－x－1，
只需证f(x)＋x＋1＝xex－x2－x>0，
∵x>0，∴只需证ex－x－1>0.
令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，
当x>0时，ex>1，∴g′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g(x)>e0－0－1＝0，即当x>0时，ex－x－1>0恒成立，则原命题得证，
∴当x>0时，f(x)>－x－1.