2021学年第十五章 四边形综合与测试巩固练习

京改版八年级数学下册第十五章四边形章节测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（     ）

A． B． C． D．

2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3、一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（    ）

A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17

4、下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（   ）

A． B．

C． D．

5、如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（    ）

A．20º B．25º C．30º D．35º

6、如果一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，那么这个多边形是（    ）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

7、如图，已知是平分线上的一点，，，是的中点，，如果是上一个动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

8、下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

9、直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（　　）

A．6 B．6.5 C．10 D．13

10、下列说法中正确的是（    ）

A．从一个八边形的某个顶点出发共有8条对角线

B．已知C、D为线段AB上两点，若，则

C．“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点确定一条直线”

D．用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点之间线段最短”

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为______；

2、若一个多边形的一条对角线把它分成两个四边形，则这个多边形的内角和是_____度．

3、如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12，如果∠AOD=60°，则DC=__．

4、已知一个多边形内角和1800度，则这个多边形的边数_____．

5、如图，以矩形的对角线为直径画圆，点、在该圆上，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，．则图中影部分的面积和为 __（结果保留根号和．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．

（1）求证：AD＝CE．   

（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．

2、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．

3、在中，，斜边，过点作，以AB为边作菱形ABEF，若，求的面积．

4、如图，□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF．求证：AF＝EC．

5、如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．

（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y＝34时x的值；

（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形状　   　，并直接写出它的面积　   　．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，再求解设BE=x，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．

【详解】

解： 矩形ABCD，

设BE=x，

∵AE为折痕，

∴AB=AF=1，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，

Rt△ABC中，

∴Rt△EFC中，，EC=2-x，

∴，

解得：，

则点E到点B的距离为：．

故选：C．

【点睛】

本题考查了勾股定理和矩形与折叠问题；二次根式的乘法运算，利用对折得到，再利用勾股定理列方程是解本题的关键．

2、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；

D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选D．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

3、A

【分析】

由题意先根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论即可．

【详解】

解：设新多边形的边数为n，
则（n-2）•180°=2340°，
解得：n=15，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16，
所以多边形的边数可以为14，15或16．
故选：A．

【点睛】

本题考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式（n-2）•180°（n为边数）是解题的关键．

4、C

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可．

【详解】

解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；

B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；

C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项符合题意；

D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．

5、C

【分析】

依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．

【详解】

∵ADBC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选：C．

【点睛】

考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．

6、A

【分析】

多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的2倍，则多边形的内角和是180度，则这个多边形一定是三角形．

【详解】

解：多边形的外角和是360度，

又多边形的外角和是内角和的2倍，

多边形的内角和是180度，

这个多边形是三角形．

故选：A．

【点睛】

考查了多边形的外角和定理，解题的关键是掌握多边形的外角和定理．

7、C

【分析】

根据题意由角平分线先得到是含有角的直角三角形，结合直角三角形斜边上中线的性质进而得到OP，DP的值，再根据角平分线的性质以及垂线段最短等相关内容即可得到PC的最小值．

【详解】

解：∵点P是∠AOB平分线上的一点，，

∴，

∵PD⊥OA，M是OP的中点，

∴，

∴

∵点C是OB上一个动点

∴当时，PC的值最小，

∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，

∴最小值，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质、含有角的直角三角形的选择，直角三角形斜边上中线的性质、垂线段最短等相关内容，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．

8、B

【详解】

A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．

9、B

【分析】

根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．

【详解】

解：∵直角三角形两直角边长为5和12，

∴斜边＝，

∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．

10、B

【分析】

根据n边形的某个顶点出发共有（n-3）条对角线即可判断A；根据线段的和差即可判断B；根据两点之间，线段最短即可判断C；根据两点确定一条直线即可判断D．

【详解】

解：A、从一个八边形的某个顶点出发共有5条对角线，说法错误，不符合题意；

B、已知C、D为线段AB上两点，若AC=BD，则AD=BC，说法正确，符合题意；

C、“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点之间，线段最短”，说法错误，不符合题意；

D、用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点确定一条直线”，说法错误，不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题主要考查了多边形对角线问题，线段的和差，两点之间，线段最短，两点确定一条直线等等，熟知相关知识是解题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

作PM⊥AD于M，交BC于N，根据矩形的性质可得S△PEB=S△PFD即可求解.

【详解】

解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，

,

∴，

，

∴S阴=9+9=18，

故答案为：18．

【点睛】

本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．

2、720

【分析】

根据一个多边形被一条对角线分成两个四边形，可得多边形的边数，根据多边形的内角和定理，可得答案．

【详解】

解：由题意，得

两个四边形有一条公共边，得

多边形是，

由多边形内角和定理，得

．

故答案为：720．

【点睛】

本题考查了多边形的对角线，利用了多边形内角和定理，解题的关键是注意对角线是两个四边形的公共边．

3、

【分析】

根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OD，然后判断出△AOD是等边三角形，再根据勾股定理解答即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OD＝AC＝×12＝6，∠ADC=90°，

∵∠AOD＝60°，

∴△AOD是等边三角形，

∴AD＝OA＝6，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了矩形的性质和勾股定理以及等边三角形的判定，解题关键是根据矩形的性质得出△AOD是等边三角形．

4、12

【分析】

设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到，然后解方程即可．

【详解】

解：设这个多边形的边数是n，

依题意得，

∴，

∴．

故答案为：12．

【点睛】

考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为解答．

5、

【分析】

设的中点为，连接，先求出，，则，，然后求出，最后根据求解即可．

【详解】

解：设的中点为，连接，

，四边形ABCD是矩形，

，∠ABC=90°，

又∵∠CAB=30°，

∴，

∴，

∴，

，

，

，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，扇形面积公式，解题的关键在于能够根据题意得到．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）39

【分析】

（1）首先根据CF⊥DE，DF＝EF得出CF为DE的中垂线，然后根据垂直平分线的性质得到CD＝CE，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，即可证明AD＝CE；

（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后结合三角形的面积公式进行计算．

【详解】

（1）证明：∵DF＝EF 

∴点F为DE的中点

又∵CF⊥DE 

∴CF为DE的中垂线

∴CD＝CE

又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

CD是斜边AB上的中线

∴CD＝=AD

∴AD＝CE

（2）解：由（1）得CD＝CE==5

∴AB=10 

∴在Rt△ABC中，BC==8

∴EB=EC+BC=13

∴ ．

【点睛】

此题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式．

2、见解析

【分析】

首先根据平行四边形的性质推出AD＝CB，AD∥BC，得到∠ADE＝∠CBF，从而证明△ADE≌△CBF，得到∠AED＝∠CFB，即可证明结论．

【详解】

证：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，AD∥BC，

∴∠ADE＝∠CBF，

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS），

∴∠AED＝∠CFB，

∴AE∥CF．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质等，掌握平行四边形的基本性质，准确证明全等三角形并利用其性质是解题关键．

3、4

【分析】

分别过点E、C作EH、CG垂直AB,垂足为点H、G,则CG是斜边AB上的高；在菱形ABEF中， 利用平行线的性质不难得到CG=EH;菱形的对角相等，四条边相等，联系含30°角的直角三角形的性质求出EH,问题即可解答。

【详解】

解：如图，分别过作垂足为点

四边形ABEF为菱形，

，，

，

在中， ，

根据题意，，根据平行线间的距离处处相等，

.

答：的面积为４.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行线间的距离及三角形面积的计算，正确利用菱形的四边相等及直角三角形中，30角所对直角边是斜边的一半是解题的关键．

4、证明见解析

【分析】

先证明再证明可得四边形是平行四边形，于是可得结论.

【详解】

解： □ABCD，

BE＝DF，

∴AE=CF，AE//CF

四边形是平行四边形，

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质，掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”是解本题的关键.

5、（1）y=-2.5x+54，x=8；（2）存在，x=6；（3）平行四边形；15．

【分析】

（1）PB=x，PC=12-x，然后依据△APG的面积=矩形的面积-三个直角三角形的面积可得到y与x的函数关系式，然后将y=34代入函数关系式可求得x的值；

（2）先依据勾股定理求得PA、PG、AG的长，然后依据勾股定理的逆定理列出关于x的方程，从而可求得x的值；

（3）确定出点P分别与点B和点C重合时，点M、N的位置，然后依据三角形的中位线定理可证明M1M2∥N1N2，N1N2=M1M2，从而可判断出MN扫过区域的形状，然后依据平行四边形的面积公式求解即可．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴DC=AB=9，AD=BC=12．

∵DG=5，

∴GC=4．

∵PB=x，PC=12-x，

∴y=9×12-×9×x-×4×(12-x)-×5×12，整理得：y=-2.5x+54．

当y=34时，-2.5x+54=34，解得x=8；

（2）存在．

∵PB=x，PC=12-x，AD=12，DG=5，

∴PA2=AB2+BP2=81+x2，PG2=PC2+GC2=(12-x)2+16，AG2=AD2+DG2=169．

∵当AG2=AP2+PG2时，AP⊥PG，

∴81+x2+(12-x)2+16=169，整理得：x2-12x+36=0，配方得：(x-6)2=0，

解得：x=6；

（3）如图所示：

∵当点P与点B重合时，点M位于M1处，点N位于点N1处，

∴M1为AB的中点，点N1位GB的中点．

∵当点P与点C重合时，点M位于M2处，点N位于点N2处，

∴M2为AC的中点，点N2位CG的中点．

∴M1M2∥BC，M1M2=BC，N1N2∥BC，N1N2=BC．

∴M1M2∥N1N2，N1N2=M1M2．

∴四边形M1M2N2N1为平行四边形．

∴MN扫过的区域为平行四边形．

S=BC•(AB-CG)=6×2.5=15，

故答案为：平行四边形；15．

【点睛】

本题主要考查了列函数关系式、三角形的面积公式、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用，画出MN扫过的图形是解题的关键．