数学九年级下册第24章 圆综合与测试课后练习题

沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（　　）

A．5 B． C． D．

2、平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

3、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．  B． 

C．  D．

4、如图，CD是的高，按以下步骤作图：

（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点．

（2）作直线GH交AB于点E．

（3）在直线GH上截取．

（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．

则下列说法错误的是（    ）

A． B． C． D．

5、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（    ）

A．22.5° B．45° C．90° D．67.5°

6、如图，是的直径，、是上的两点，若，则（    ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

7、如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大小为（      ）

A．55° B．60° C．65° D．75°

8、如图，AB，CD是⊙O的弦，且，若，则的度数为（    ）

A．30° B．40° C．45° D．60°

9、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（    ）

A． B． C． D．

10、如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′AB，则旋转角的度数为（    ）

A．64° B．52° C．42° D．36°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、边长相等、各内角均为120°的六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，，点B在原点，把六边形ABCDEF沿x轴正半轴绕顶点按顺时针方向，从点B开始逐次连续旋转，每次旋转60°，经过2021次旋转之后，点B的坐标是_____________．

2、一个正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数为________．

3、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为_______．

4、是的内接正六边形一边，点是优弧上的一点（点不与点，重合）且，与交于点，则的度数为_______．

5、如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，已知为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且．

（1）求的大小；

（2）若，求的长．

2、如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A 顺时针旋转60°得到 ，连接 ．

（1）用等式表示 与CP的数量关系，并证明；

（2）当∠BPC＝120°时，

①直接写出 的度数为       ；

②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．

3、（教材呈现）下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．

圆周角定理　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．

由圆周角定理，可以得到以下推论：推论1  90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）

（推论证明）已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°．

求证：线段AB是⊙O的直径．

请你结合图①写出推论1的证明过程．

（深入探究）如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为          ．

（拓展应用）如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD，点E是BC的中点，连结DE． 若AB＝，则DE的长为           ．

4、在中，，，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为线段DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．

（1）如图，当点E在线段CD上时，

①依题意补全图形，并直接写出BC与CF的位置关系；

②求证：点G为BF的中点．

（2）直接写出AE，BE，AG之间的数量关系．

5、如图，点A是外一点，过点A作出的一条切线．（使用尺规作图，作出一条即可，不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．

【详解】

解：连接OF，OE，OG，

∵AB、BC、CD分别与相切，

∴，，，且，

∴OB平分，OC平分，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

2、B

【分析】

根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．

【详解】

解：平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是

故选B

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．

3、C

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；

D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4、C

【分析】

连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．

【详解】

解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，

∴，故A正确；

∵CD是的高，

∴，故B正确；

∵，，

∴，故C错误；

∵，

∴∠AFE=45°，

同理可得∠BFE=45°，

∴∠AFB＝90°，

，故D正确；

故选：C．

【点睛】

本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．

5、B

【分析】

根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．

6、C

【分析】

根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．

【详解】

解：∵∠BOC=130°，

∴∠BDC=∠BOC=65°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADC=90°-65°=25°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

7、C

【分析】

由OA=OB，，求出∠AOB=130°，根据圆周角定理求出的度数．

【详解】

解：∵OA=OB，，

∴∠BAO=．

∴∠AOB=130°．

∴=∠AOB=65°．

故选：C．

【点睛】

此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

8、B

【分析】

由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．

9、B

【分析】

阴影部分的面积=扇形扇形，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及的面积，最后即可求出阴影部分的面积．

【详解】

解：由图可知：阴影部分的面积=扇形扇形，

由旋转性质可知：，，

，，

在中，，，，

，，

有勾股定理可知：，

阴影部分的面积=扇形扇形

．

故选：B．

【点睛】

本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．

10、B

【分析】

先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．

【详解】

解：∵CC′∥AB，

∴∠ACC′=∠CAB=64°

∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，

∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，

∴∠ACC′=∠AC′C=64°，

∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2×64°=52°，

∴旋转角为52°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

二、填空题

1、

【分析】

根据旋转找出规律后再确定坐标．

【详解】

∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，

∴每6次翻转为一个循环组循环，

∵，

∴经过2021次翻转为第337循环组的第5次翻转，点B在开始时点C的位置，

∵，

∴，

∴翻转前进的距离为：，

如图，过点B作BG⊥x于G，

则∠BAG=60°，

∴，

，

∴，

∴点B的坐标为．

故答案为：．

【点睛】

题考查旋转的性质与正多边形，由题意找出规律是解题的关键．

2、九9

【分析】

根据正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的度数和为360°进行求解即可．

【详解】

解：设这个正多边形的边数为n，

∵这个正多边形的中心角是40°，

∴，

∴，

∴这个正多边形是九边形，

故答案为：九．

【点睛】

本题主要考查了正多边形的性质，熟知正多边形中心角的度数和为360度是解题的关键．

3、##

【分析】

先求出点A、B的坐标，过点A作AF⊥AB，交直线BC于点F，过点F作EF⊥x轴，垂足为E，然后由全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出点F的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案．

【详解】

解：∵一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B两点，

∴令，则；令，则，

∴点A为（2，0），点B为（0，4），

∴，；

过点A作AF⊥AB，交直线BC于点F，过点F作EF⊥x轴，垂足为E，如图，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴AF=AB，

∴△ABO≌△FAE（AAS），

∴AO=FE，BO=AE，

∴，，

∴，

∴点F的坐标为（，）；

设直线BC为，则

，解得：，

∴直线BC的函数表达式为；

故答案为：；

【点睛】

本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．

4、90°

【分析】

先根据是的内接正六边形一边得，再根据圆周角性质得，再根据平行线的性质得,最后由三角形外角性质可得结论．

【详解】

解：∵是的内接正六边形一边

∴

∴

∵

∴

∴

故答案为90°

【点睛】

本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键

5、∠ABC

【分析】

根据圆内接四边形的性质可得，再由题意可得，由等式的性质即可得出结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD内接于圆，

∴，

∵E为CD延长线上一点，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．

三、解答题

1、

（1）45°

（2）

【分析】

（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据圆周角定理得到∠DOC=2∠CAD，进而证明∠D=∠DOC，根据等腰直角三角形的性质求出∠D的度数；

（2）根据等腰三角形的性质求出OC，根据弧长公式计算即可．

（1）

连接．

∵ ，

∴ ，即 ．

∵ ，

∴ ．

∵ 是⊙的切线，

∴ ，即 ．

∴ ．

∴ ．

∴ ．

（2）

∵ ，，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴ 的长．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

2、（1），理由见解析；（2）①60°；②PM＝，见解析

【分析】

（1）根据等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋转可知：从而得到，可证得，即可求解 ；

（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC＝60°，从而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，进而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由，可得 ，即可求解；

②延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．可先证得△PCM≌△NBM．从而得到CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．进而得到 ．根据①可得，可证得，从而得到 ．再由 为等边三角形，可得 ．从而得到 ，即可求解．

【详解】

解：（1） ．理由如下：

在等边三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，

由旋转可知： 

∴

即

在和△ACP中

∴ ．

∴ ．

（2）①∵∠BPC＝120°，

∴∠PBC＋∠PCB＝60°．

∵在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，

∴∠ABC＋∠ACB＝120°，

∴∠ABP＋∠ACP＝60°．

∵ ．

∴ ，

∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．

即 ；

②PM＝ ．理由如下：

如图，延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．

∵M为BC的中点，

∴BM＝CM．

在△PCM和△NBM中

∴△PCM≌△NBM（SAS）．

∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．

∴ ．

∵∠BPC＝120°，

∴∠PBC＋∠PCB＝60°．

∴∠PBC＋∠NBM＝60°．

即∠NBP＝60°．

∵∠ABC＋∠ACB＝120°，

∴∠ABP＋∠ACP＝60°．

∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．

即 ．

∴ ．

在△PNB和 中

∴ （SAS）．

∴ ．

∵ 

∴ 为等边三角形，

∴ ．

∴ ，

∴PM＝ ．

【点睛】

本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．

3、【推论证明】见解析；【深入探究】；【拓展应用】．

【分析】

推论证明：根据圆周角定理求出，即可证明出线段AB是⊙O的直径；

深入探究：连接AB，首先根据∠ACB＝90°得出AB是⊙O的直径，然后求出，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据30°角直角三角形的性质求出BD的长度，最后根据勾股定理即可求出AD的长度；

拓展应用：连接AE，作CF⊥DE交DE于点F，首先根据等边三角形三线合一的性质求出，然后证明出A，E，C，D四点共圆，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出，，最后根据等腰直角三角形的性质和30°角直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可．

【详解】

解：推论证明：∵

∴，

∴A，B，O三点共线，

又∵点O是圆心，

∴AB是⊙O的直径；

深入探究：如图所示，连接AB，

∵∠ACB＝90°

∴AB是⊙O的直径

∴

∵∠ACD＝60°

∴

∵

∴

∴在中，

∴；

拓展应用：如图所示，连接AE，作CF⊥DE交DE于点F，

∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点

∴，

又∵以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD

∴，

∴点A，E，C，D四点都在以AC为直径的圆上，

∵

∴

∵CF⊥DE

∴是等腰直角三角形

∴，

∴

∵

∴，解得：

∴

∵

∴

∴在中，

∴

∴．

【点睛】

此题考查了圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，相等的圆周角所对的弧相等，等边三角形和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点和性质定理．

4、（1）①BC⊥CF；证明见详解；②见详解;（2）2AE2=4AG2+BE2．证明见详解．

【分析】

（1）①如图所示，BC⊥CF．根据将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，得出AE=AF，∠EAF=90°，可证△BAE≌△CAF（SAS），得出∠ABE=∠ACF=45°，可得∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°即可；

②根据AD⊥BC，BC⊥CF．可得AD∥CF，可证△BDG∽△BCF，可得，得出即可；

（2）2AE2=4AG2+BE2，延长BA交CF延长线于H，根据等腰三角形性质可得AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠CAD=，可证△BAG∽△BHF，得出HF=2AG，再证△AEC≌△AFH（AAS），得出EC=FH=2AG，利用勾股定理得出，即即可．

【详解】

解：（1）①如图所示，BC⊥CF．

∵将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，

∴AE=AF，∠EAF=90°，

∴∠EAC+∠CAF=90°，

∵，，

∴∠BAE+∠EAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠BAE=∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（SAS），

∴∠ABE=∠ACF=45°，

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

∴BC⊥CF；

②∵AD⊥BC，BC⊥CF．

∴AD∥CF，

∴∠BDG=∠BCF=90°，∠BGD=∠BFC，

∴△BDG∽△BCF，

∴，

∵，AD⊥BC，

∴BD=DC=，

∴，

∴，

∴，

∴BG=GF;

（2）2AE2=4AG2+BE2．延长BA交CF延长线于H，

∵AD⊥BC，AB=AC，

∴AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=，

∵BG=GF，AG∥HF，

∴∠BAG=∠H=45°，∠AGB=∠HFB，

∴△BAG∽△BHF，

∴，

∴HF=2AG，

∵∠ACE=45°，

∴∠ACE =∠H，

∵∠EAC+∠CAF=90°，∠CAF+∠FAH=90°，

∴∠EAC=∠FAH，

在△AEC和△AFH中，

，

∴△AEC≌△AFH（AAS），

∴EC=FH=2AG，

在Rt△AEF中，根据勾股定理，

在Rt△ECF中，即．

【点睛】

本题考查图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，掌握图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理是解题关键．

5、见解析

【分析】

先作线段的垂直平分线．确定的中点，再以中点为圆心，一半为半径作圆交于点，然后作直线，则根据圆周角定理可得为所求．

【详解】

如图，直线AB就是所求作的，

（作法不唯一，作出一条即可，需要有作图痕迹）

【点睛】

本题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．