人教版高中数学高考一轮复习训练--等比数列及其前n项和

考点规范练27　等比数列及其前n项和

一、基础巩固

1.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于(　　)

A.2 B.1 C. D.

2.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)

A. B.9 C.±9 D.35

3.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(　　)

A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2

C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an

4.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,上一层的数量是下一层的2倍,总共有1 016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案.若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an},则log2(a3·a5)的值为(　　)

A.8 B.10 C.12 D.16

5.(多选)已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是(　　)

A. B.

C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2}

6.某公司为扩大产能,于2019年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该公司从2020年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清.若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该公司每年的偿还金额是(　　)

A. B.

C. D.

7.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=　　　　　. 

8.设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1==a6,则S5=　　　　　. 

9.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.

(1)求b1,b2,b3;

(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;

(3)求数列{an}的通项公式.

10.已知数列{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{bn}的前n项和.

二、综合应用

11.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形,一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统,分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义.如图,由波兰数学家谢尔宾斯基于1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形,具体作法是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,若记图①三角形的面积为,则图中阴影部分的面积为(　　)

A. B.

C. D.

12.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可通过适当排序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

13.(多选)已知数列{an}是等比数列,则下列说法中正确的是(　　)

A.数列{}是等比数列

B.若a3=2,a7=32,则a5=±8

C.若a1<a2<a3,则数列{an}是递增数列

D.若数列{an}的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-1

14.已知数列{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=　　　　　,a4的最大值为　　　　　. 

15.已知等比数列{an}与等差数列{bn}满足a1=b1=1,a1≠a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)设Sn,Tn分别是数列{an},{bn}的前n项和,若Sn+Tn>100,求n的最小值.

三、探究创新

16.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　　. 

17.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).

(1)求证:数列{an+1+2an}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

考点规范练27　等比数列及其前n项和

1.C　设等比数列{an}的公比为q,

∵a3a5=4(a4-1),

=4(a4-1),解得a4=2.

又a4=a1q3,且a1=,∴q=2.

∴a2=a1q=

2.B　∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,

∴a2·a48=3.

又a1·a49=a2·a48==3,且a25>0,

∴a1·a2·a25·a48·a49==9

故选B.

3.D　根据题意可得,Sn==3-2an,故选D.

4.C　根据题意可知,最下层的“浮雕像”的数量为a1,且数列{an}为公比q=2的等比数列.

当n=7时,S7==1 016,

解得a1=8,则an=8×2n-1=2n+2(1≤n≤7),于是a3=25,a5=27,

从而a3·a5=25×27=212,

可得log2(a3·a5)=log2212=12,故选C.

5.AD　当an=1时,log2=0,数列{log2}不一定是等比数列;

当公比q=-1时,an+an+1=0,数列{an+an+1}不一定是等比数列;由等比数列的定义知数列和{an+an+1+an+2}都是等比数列.

6.D　设每年偿还的金额为x,根据题意可得,

a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-1,

即a(1+p)m=x,

解得x=

7.1　设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,

由题意知-1+3d=-q3=8,

即解得

故=1.

8　设等比数列{an}的公比为q,

则a4=a1q3=q3,a6=a1q5=q5.

=a6,q6=q5.

∵q≠0,∴q=3.

∴S5=

9.解 (1)由题意可得an+1=an.

将n=1代入,得a2=4a1,而a1=1,

得a2=4.

将n=2代入,得a3=3a2,

得a3=12.

由于bn=,则b1=1,b2=2,b3=4.

(2)数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

理由如下:

由题意可得,即bn+1=2bn,又b1=1,所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

(3)由(2)可得=2n-1,

故an=n·2n-1.

10.解 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.

即数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.

(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=,因此数列{bn}是首项为1,公比为的等比数列.

设数列{bn}的前n项和为Sn,

则Sn=

11.D　根据题意知,每一个图形的面积是前一个图形面积的,即各图形的面积构成首项为,公比为的等比数列,故题图中阴影部分的面积为

12.D　∵a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,

∴a+b=p,ab=q.

∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.

又a,b,-2这三个数可通过适当排序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列,或

解①得解②得

∴p=a+b=5,q=1×4=4.

∴p+q=9.故选D.

13.AC　由于数列{an}是等比数列,

则q2n-2,可得=q2是常数,即数列{}是等比数列,故A正确;

若a3=2,a7=32,则a5==8,故B错误;

若0<a1<a2<a3,则q>1,数列{an}是递增数列;若a1<a2<a3<0,则0<q<1,数列{an}是递增数列,

故C正确;

若数列{an}的前n和Sn=3n-1+r,则a1=S1=1+r,a2=S2-S1=(3+r)-(1+r)=2,a3=S3-S2=(9+r)-(3+r)=6,

由于a1,a2,a3成等比数列,则=a1a3,即4=6(1+r),

解得r=-,故D错误.

14.5　　因为{an}是等比数列,a2a4+2a3a5+a4a6=25,

所以+2a3a5+=25,即=25,

因为an>0,所以a3+a5=5,

故a3+a5≥2=2a4,即a4

15.解 (1)设等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d,

则

解得(舍)或故an=2n-1,bn=n.

(2)由(1)易知Sn==2n-1,Tn=

由Sn+Tn>100,

得2n+>101.

由于是递增数列,

且26+=85<101,27+=156>101,

故n的最小值为7.

16.64　设等比数列{an}的公比为q.

由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,

两式相除得,

解得q=,a1=8,

所以a1a2…an=8n,

由于抛物线f(n)=-n2+n的对称轴为直线n=-=3.5,

又n∈N*,所以当n=3或n=4时,a1a2…an取最大值为=26=64.

17.(1)证明 ∵an+1=an+6an-1(n≥2),

∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).

又a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,

∴an+2an-1≠0(n≥2),

=3(n≥2),

∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.

(2)解 由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,

则an+1=-2an+5×3n,

∴an+1-3n+1=-2(an-3n).

又a1-3=2,

∴an-3n≠0,

∴数列{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.

∴an-3n=2×(-2)n-1,即an=2×(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.