数学沪科版第24章 圆综合与测试综合训练题

沪科版九年级数学下册第24章圆综合练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．  B． 

C．  D．

2、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A．  B．

C． D．

3、如图，为正六边形边上一动点，点从点出发，沿六边形的边以1cm/s的速度按逆时针方向运动，运动到点停止．设点的运动时间为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图像能大致反映与的函数关系的是（    ）

A． B．

C． D．

4、如图，在Rt△ABC中，，，，以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点，，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

5、下列判断正确的个数有（    ）

①直径是圆中最大的弦；

②长度相等的两条弧一定是等弧；

③半径相等的两个圆是等圆；

④弧分优弧和劣弧；

⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

7、如图，PA是的切线，切点为A，PO的延长线交于点B，若，则的度数为（    ）．

A．20° B．25° C．30° D．40°

8、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

9、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且，则光盘的直径是（    ）

A．6 B． C．3 D．

10、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（    ）cm．

A．3π B．6π C．12π D．18π

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是______．

2、在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．

3、一个正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数为________．

4、如图，在中，，分别以、、边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为__________．

5、若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是_____（结果保留）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，．点在线段上，连接交于点．

（1）①比较与的大小，并证明；

②若，求证：；

（2）将图1中的绕点逆时针旋转，如图2．若是的中点，判断是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

2、在等边中，将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD．

（1）若线段DA的延长线与线段BC相交于点E（不与点B，C重合），写出满足条件的α的取值范围；

（2）在（1）的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．

①依题意补全图形；②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．

3、在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD．

4、如图，在直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转90°．

（1）画出旋转后的△AB1C1，并写出B1、C1的坐标；

（2）求线段AB在旋转过程中扫过的面积．

5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．

（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧的长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；

D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2、B

【分析】

根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析

【详解】

解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；

C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．

3、A

【分析】

设正六边形的边长为1，当在上时，过作于 而 求解此时的函数解析式，当在上时，延长交于点 过作于 并求解此时的函数解析式，当在上时，连接 并求解此时的函数解析式，由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，在上的图象与在上的图象是对称的，从而可得答案.

【详解】

解：设正六边形的边长为1，当在上时，

过作于 而

当在上时，延长交于点 过作于

同理：

则为等边三角形，

当在上时，连接

由正六边形的性质可得：

由正六边形的对称性可得： 而

由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，

在上的图象与在上的图象是对称的，

所以符合题意的是A，

故选A

【点睛】

本题考查的是动点问题的函数图象，锐角三角函数的应用，正多边形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.

4、A

【分析】

连结OC，根据切线长性质DC=AC，OC平分∠ACD，求出∠OCD=∠OCA==30°，利用在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，利用三角形面积公式求出，，再求出扇形面积，利用割补法求即可．

【详解】

解：连结OC，

∵以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点A, ，

∴DC=AC，OC平分∠ACD，

∵，，

∴∠ACD=90°-∠B=60°，

∴∠OCD=∠OCA==30°，

在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，

在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，

∴OD=OA=1，DC=AC=，

∴，，

∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，

∴，

S阴影=．

故选择A．

【点睛】

本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．

5、B

【详解】

①直径是圆中最大的弦；故①正确，

②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确

③半径相等的两个圆是等圆；故③正确

④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确

⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．

综上所述，正确的有①③

故选B

【点睛】

本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．

6、C

【分析】

如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．

【详解】

解：如图，过点C作 CT⊥AB 于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，

由题意可得AB垂直平分线段OK，

∴AO=AK，OH=HK=3，

∵OA=OK，

∴OA=OK=AK，

∴∠OAK=∠AOK=60°，

∴AH=OA×sin60°=6×=3，

∵OH⊥AB，

∴AH=BH，

∴AB=2AH=6，

∵OC+OH⩾CT，

∴CT⩽6+3=9，

∴CT的最大值为9，

∴△ABC的面积的最大值为=27，

故选：C.

【点睛】

本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT的最大值，属于中考常考题型．

7、B

【分析】

连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．

【详解】

解：连接OA，如图，

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴∠PAO=90°，

∵∠P=40°，

∴∠AOP=50°，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB，

∵∠AOP=∠B+∠OAB，

∴∠B=∠AOP=×50°=25°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．

8、A

【分析】

根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．

【详解】

解：∵AB是⊙O的直径，

∴ ，

∵∠BAC＝30°，BC＝2，

∴．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

9、D

【分析】

如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，即可证明Rt△OCA≌Rt△OBA得到∠OAC=∠OAB，则，∠AOB=30°，推出OA=2AB=6，利用勾股定理求出，即可得到圆O的直径为．

【详解】

解：如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，

∵AC，AB都是圆O的切线，

∴∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，

又∵OA=OA，

∴Rt△OCA≌Rt△OBA（HL），

∴∠OAC=∠OAB，

∵∠DAC=60°，

∴，

∴∠AOB=30°，

∴OA=2AB=6，

∴，

∴圆O的直径为，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．

10、B

【分析】

利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．

【详解】

解：它的侧面展开图的面积＝×2×2×3＝6（cm2）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

二、填空题

1、6

【分析】

如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，再求出圆的半径即可．

【详解】

解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．

∵正六边形ABCDEF，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，

∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，

∵的周长为，

∴的半径为，

正六边形的边长是6；

【点睛】

本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键．

2、（3，4）

【分析】

关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

【详解】

：由题意，得点（-3，-4）关于原点对称的点的坐标是（3，4），

故答案为：（3，4）．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

3、九9

【分析】

根据正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的度数和为360°进行求解即可．

【详解】

解：设这个正多边形的边数为n，

∵这个正多边形的中心角是40°，

∴，

∴，

∴这个正多边形是九边形，

故答案为：九．

【点睛】

本题主要考查了正多边形的性质，熟知正多边形中心角的度数和为360度是解题的关键．

4、

【分析】

根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即．

【详解】

解：在中，，

，

．

故答案为：

【点睛】

本题考查了勾股定理，求扇形面积，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．

5、

【分析】

已知扇形的圆心角为，半径为2，代入弧长公式计算．

【详解】

解：依题意，n=，r=2，

∴扇形的弧长=．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=．

三、解答题

1、（1）①∠CAE=∠CBD，理由见解析；②证明见解析；（2）AE=2CF仍然成立，理由见解析

【分析】

（1）①只需要证明△CAE≌△CBD即可得到∠CAE=∠CBD；

②先证明∠CAH=∠BCF，然后推出∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，得到CF=DF，CF=BF，则BD=2CF，再由△CAE≌△CBD，即可得到AE=2BD=2CF；

（2）如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，只需要证明△ACE≌△BCG得到AE=BG，再由CF是△BDG的中位线，得到BG=2CF，即可证明AE=2CF．

【详解】

解：（1）①∠CAE=∠CBD，理由如下：

在△CAE和△    CBD中，

，

∴△CAE≌△CBD（SAS），

∴∠CAE=∠CBD；

②∵CF⊥AE，

∴∠AHC=∠ACB=90°，

∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°，

∴∠CAH=∠BCF，

∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，

∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，

∴CF=DF，CF=BF，

∴BD=2CF，

又∵△CAE≌△CBD，

∴AE=2BD=2CF；

（2）AE=2CF仍然成立，理由如下：

如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，

由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，

又∵CE=CD=CG，AC=BC，

∴△ACE≌△BCG（SAS），

∴AE=BG，

∵F是BD的中点，CD=CG，

∴CF是△BDG的中位线，

∴BG=2CF，

∴AE=2CF．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．

2、（1）；（2）①见解析；②AE=AF+CE，证明见解析．

【分析】

（1）根据“线段DA的延长线与线段BC相交于点E”可求解；

（2）①根据要求画出图形，即可得出结论；②在AE上截取AH=AF，先证△AFD≌△AHC，再证∠CHE=∠HCE，即可得出结果．

【详解】

（1）如图：AD只能在锐角∠EAF内旋转符合题意

故α的取值范围为：；

（2）补全图形如下：

（3）AE=AF+CE，

证明：在AE上截取AH=AF，由旋转可得：AB=AD，

∴∠D=∠ABF，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

∴AD=AC，

∵∠DAF=∠CAH，

∴△AFD≌△AHC，

∴∠AFD=∠AHC，∠D=∠ACH，

∴∠AFB=∠CHE，

∵∠AFB+∠ABF=∠ACH+∠HCE=60°，

∴∠CHE+∠D=∠D+∠HCE=60°，

∴∠CHE=∠HCE，

∴CE=HE，

∴AE=AH+HE=AF+CE．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等边三角形性质及应用，解题的关键是正确画出图形和作出辅助线．

3、见解析

【分析】

由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．

【详解】

证明：根据题意作图如下：

∵BD是圆周角ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

∴，

∴AD=CD．

【点睛】

本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．

4、（1）作图见解析，、；（2）

【分析】

（1）将绕点A顺时针旋转90°得，根据点A、B、C坐标，即可确定出点、的坐标；

（2）根据勾股定理求出AB的长，由扇形面积公式即可得出答案．

【详解】

（1）将绕点A顺时针旋转90°得如图所示：

∴、；

（2）由图可知：，

∴线段AB在旋转过程中扫过的面积为．

【点睛】

本题考查作旋转图形以及扇形的面积公式，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键．

5、（1）作图见解析；（2）

【分析】

（1）由于D点为⊙O的切点，即可得到OC=OD，且OD⊥AB，则可确定O点在∠A的角平分线上，所以应先画出∠A的角平分线，与BC的交点即为O点，再以O为圆心，OC为半径画出圆即可；

（2）连接CD和OD，根据切线长定理，以及圆的基本性质，求出∠DCB的度数，然后进一步求出∠COD的度数，并结合三角函数求出OC的长度，再运用弧长公式求解即可．

【详解】

解：（1）如图所示，先作∠A的角平分线，交BC于O点，以O为圆心，OC为半径画出⊙O即为所求；

（2）如图所示，连接CD和OD，

由题意，AD为⊙O的切线，

∵OC⊥AC，且OC为半径，

∴AC为⊙O的切线，

∴AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

∵CD=BD，

∴∠B=∠DCB，

∵∠ADC=∠B+∠BCD，

∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°，

即：3∠DCB=90°，

∴∠DCB=30°，

∵OC=OD，

∴∠DCB=∠ODC=30°，

∴∠COD=180°-2×30°=120°，

∵∠DCB=∠B=30°，

∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，

∵AO平分∠BAC，

∴∠CAO=∠DAO=30°，

∴在Rt△ACO中，，

∴．

【点睛】

本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键．