高考数学(文数)二轮复习大题分层练04《三角数列概率统计立体几何》D组（教师版）

大题分层练(四)三角、数列、概率统计、立体几何(D组)

1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为.

(1)当x∈时,求f(x)的单调递减区间.

(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈时,求函数g(x)的值域.

【解析】(1)由题知f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin,

因为相邻两对称轴的距离为,

所以T==×2=π,ω=2.

又因为f(x)为奇函数,

所以φ-=kπ,φ=+kπ,(k∈Z),

0<φ<π,所以φ=,即f(x)=2sin 2x,

要使f(x)单调递减,

需-π≤2x≤-,-<x≤-,

所以f(x)的单调减区间为.

(2)由题知g(x)=2sin,

因为-≤x≤,所以-≤4x-≤,-1≤sin≤,-2≤g(x)≤,

所以函数g(x)的值域为[-2,].

2.等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.

(2)令cn=设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n.

【解析】(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,则

即解得

所以an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.

(2)由a1=3,an=2n+1得Sn==n(n+2),

则cn=即cn=

所以T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)=

+(2+23+…+22n-1)

=1-+=+(4n-1).

3.某市从参加广场活动的人员中随机抽取了1 000名,得到如表:

市民参加广场活动项目与性别列联表

(1)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为市民参加广场活动的项目与性别有关?

(2)以性别为标准,用分层抽样的方法在跳广场舞的人员中抽取4人,再在这4人中随机确定两名做广场舞管理员,求这两名管理员是一男一女的概率.

附:参考公式和K2检验临界值表

K2=,n=a+b+c+d,

【解析】(1)由列联表可得:

k=≈7.937,

因为7.937>7.879,所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为市民参加广场活动的项目与性别有关.

(2)由表可知,该市市民跳广场舞的男女性别比是1∶3,所以抽取的四人中只有1名男性,其余3名是女性,从中任选两人的所有结果是:(男,女1),(男,女2),

(男,女3),(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3),其中是一男一女的有三种.

设“这两名管理员是一男一女”为事件A,则P(A)==.

所以这两名管理员是一男一女的概率为.

4.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为正三角形,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点.

(1)若BC=BB1,求证:BC1⊥平面AEG.

(2)若D为AB的中点,∠CA1D=45°,四棱锥C-A1B1BD的体积为,求三棱锥F-AEC的表面积.

【解析】(1)如图,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AE⊥BB1,

又因为E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AE⊥BC,又BC∩BB1=B,

所以AE⊥平面B1BCC1,则AE⊥BC1,

连接B1C,因为BC=BB1,易知四边形B1BCC1为正方形,则BC1⊥B1C,

又GE∥B1C,则BC1⊥GE,因为GE∩AE=E,所以BC1⊥平面AEG.

(2)因为△ABC是正三角形,所以CD⊥AB,

又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,

所以CD⊥AA1,

所以CD⊥平面A1ABB1,所以CD⊥A1D.

设AB=a,由题意,∠CA1D=45°,所以CD=A1D=a,

所以AA1=a,所以=·a··a·a=,

所以a=2,所以三棱锥F-AEC的表面积为

S=×1×+×2×+××+×1×=.