高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测04《解三角形》大题练（教师版）

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1．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cs C(acs C＋ccs A)＋b＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝2，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面积．
解：(1)∵2cs C(acs C＋ccs A)＋b＝0，∴由正弦定理可得2cs C(sin Acs C＋sin Ccs A)＋sin B＝0.
∴2cs Csin(A＋C)＋sin B＝0，即2cs Csin B＋sin B＝0，
又0°又0°(2)由余弦定理可得(2eq \r(3))2＝a2＋22－2×2acs 120°＝a2＋2a＋4，
又a>0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \r(3)，
∴△ABC的面积为eq \r(3).
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcs A＝(2c＋a)cs(π－B)．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝4，△ABC的面积为eq \r(3)，求a＋c的值．
解：(1)∵bcs A＝(2c＋a)cs(π－B)，
由正弦定理可得，sin Bcs A＝(－2sin C－sin A)csB.
∴sin(A＋B)＝－2sin Ccs B.
∴sin C＝－2sin Ccs B，
又sin C≠0，
∴cs B＝－eq \f(1,2)，∴B＝eq \f(2π,3).
(2)由S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \r(3)，得ac＝4.
又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.
∴a＋c＝2eq \r(5).
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sineq \f(B,2)－cseq \f(B,2)＝eq \f(1,4).
(1)求cs B的值；
(2)若b2－a2＝eq \f(\r(31),4)ac，求eq \f(sin C,sin A)的值．
解：(1)将sineq \f(B,2)－cseq \f(B,2)＝eq \f(1,4)两边同时平方得，
1－sin B＝eq \f(1,16)，得sin B＝eq \f(15,16)，故cs B＝±eq \f(\r(31),16)，
又sineq \f(B,2)－cseq \f(B,2)＝eq \f(1,4)>0，所以sineq \f(B,2)>cseq \f(B,2)，
所以eq \f(B,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
故cs B＝－eq \f(\r(31),16).
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋eq \f(\r(31),4)ac，
所以eq \f(\r(31),4)a＝c－2acs B＝c＋eq \f(\r(31),8)a，
所以c＝eq \f(\r(31),8)a，故eq \f(sin C,sin A)＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(31),8).
4．在△ABC中，AC＝2eq \r(3)，BC＝6，∠ACB＝150°.
(1)求AB的长；
(2)延长BC至D，使∠ADC＝45°，求△ACD的面积．
解：(1)由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs∠ACB，得AB2＝12＋36－2×2eq \r(3)×6cs 150°＝84，所以AB＝2eq \r(21).
(2)因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，所以∠CAD＝150°－45°＝105°，
由正弦定理eq \f(CD,sin∠CAD)＝eq \f(AC,sin∠ADC)，得CD＝eq \f(2\r(3)sin 105°,sin 45°)，又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°·cs 45°＋cs 60°·sin 45°＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4)，所以CD＝3＋eq \r(3)，又∠ACD＝180°－∠ACB＝30°，所以S△ACD＝eq \f(1,2)AC·CD·sin∠ACD＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×(3＋eq \r(3))×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)(eq \r(3)＋1)．
5．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为锐角，且满足2sin(A＋C)＋eq \r(3)cs 2B＝4sin Bcs2eq \f(B,2).
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积S＝eq \f(3\r(3),4)，b＝eq \r(3)，求△ABC的周长l.
解：(1)由已知得，2sin(π－B)＋eq \r(3)cs 2B＝4sin Bcs2eq \f(B,2)，
即2sin B＋eq \r(3)cs 2B＝4sin Bcs2eq \f(B,2)，
所以2sin Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2cs2\f(B,2)))＋eq \r(3)cs 2B＝0，
即－2sin Bcs B＋eq \r(3)cs 2B＝0，即sin 2B＝eq \r(3)cs 2B，
所以tan 2B＝eq \r(3).因为0(2)由(1)知，B＝eq \f(π,6).△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)acsineq \f(π,6)＝eq \f(1,4)ac＝eq \f(3\r(3),4)，整理得ac＝3eq \r(3)，①
由b＝eq \r(3)及余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
得(eq \r(3))2＝a2＋c2－2accseq \f(π,6)＝a2＋c2－eq \r(3)ac，
整理得a2＋c2－eq \r(3)ac＝3，②
将①代入②得，(a＋c)2＝12＋6eq \r(3)，即a＋c＝3＋eq \r(3)，
故△ABC的周长l＝b＋a＋c＝eq \r(3)＋3＋eq \r(3)＝3＋2eq \r(3).
B卷——深化提能练
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求a；
(2)求AB边上的高CD的长．
解：(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)得cs 120°＝eq \f(a2＋a＋22－a＋42,2aa＋2)，即a2－a－6＝0，∴a＝3或a＝－2(舍去)，∴a＝3.
(2)由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得eq \f(1,2)absin∠ACB＝eq \f(1,2)c×CD，
∴CD＝eq \f(absin∠ACB,c)＝eq \f(3×5×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(15\r(3),14)，即AB边上的高CD＝eq \f(15\r(3),14).
2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)c－a))cs B＝bcs A.
(1)若sin A＝eq \f(2,5)，a＋b＝10，求a；
(2)若b＝3eq \r(5)，a＝5，求△ABC的面积S.
解：∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)c－a))cs B＝bcs A，
∴由正弦定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)sin C－sin A))·cs B＝sin Bcs A，
即有eq \f(5,4)sin Ccs B＝sin Acs B＋cs Asin B，
则eq \f(5,4)sin Ccs B＝sin C.
∵sin C>0，∴cs B＝eq \f(4,5).
(1)由cs B＝eq \f(4,5)，得sin B＝eq \f(3,5)，
∵sin A＝eq \f(2,5)，∴eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(2,3)，
又a＋b＝10，解得a＝4.
(2)∵b2＝a2＋c2－2accs B，b＝3eq \r(5)，a＝5，
∴45＝25＋c2－8c，
即c2－8c－20＝0，
解得c＝10或c＝－2(舍去)，
∴S＝eq \f(1,2)acsin B＝15.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs eq \f(A,2)＝eq \f(2\r(5),5)，eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
解：(1)由eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝3，得bccs A＝3，又cs A＝2cs2eq \f(A,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))2－1＝eq \f(3,5)，
∴bc＝5，sin A＝eq \f(4,5).由sin A＝eq \f(4,5)及S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A，得S△ABC＝2.
(2)由b＋c＝6，得b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝26，∴a2＝b2＋c2－2bccs A＝20，
∴a＝2eq \r(5).
4．已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(2a－b,c)＝eq \f(cs B,cs C).
(1)求角C的大小；
(2)求函数y＝sin A＋sin B的值域．
解：(1)由eq \f(2a－b,c)＝eq \f(cs B,cs C)，利用正弦定理可得2sin Acs C－sin Bcs C＝sin Ccs B，
可化为2sin Acs C＝sin(C＋B)＝sin A，
∵sin A≠0，∴cs C＝eq \f(1,2)，
∵C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴C＝eq \f(π,3).
(2)y＝sin A＋sin B＝sin A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)－A))＝sin A＋eq \f(\r(3),2)cs A＋eq \f(1,2)sin A＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))，∵A＋B＝eq \f(2π,3)，0∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))，∴y∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(3))).
5.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝eq \r(7)，EA＝2，∠ADC＝eq \f(2π,3)，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；
(2)求BE的长．
解：设∠CED＝α.因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝eq \f(π,3).
(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cs∠EDC，
由题设知7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．
在△CDE中，由正弦定理得eq \f(EC,sin∠EDC)＝eq \f(CD,sin α) ，于是sin α＝eq \f(CD·sin\f(2π,3),EC)＝eq \f(2×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq \f(\r(21),7)，即sin∠CED＝eq \f(\r(21),7).
(2)由题设知0<α又∠AEB＝π－∠BEC－α＝eq \f(2π,3)－α，
所以cs∠AEB＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))＝cseq \f(2π,3)cs α＋sineq \f(2π,3)sin α＝－eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝－eq \f(1,2)×eq \f(2\r(7),7)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(21),7)＝eq \f(\r(7),14).
在Rt△EAB中，cs∠AEB＝eq \f(EA,BE)＝eq \f(2,BE)＝eq \f(\r(7),14)，所以BE＝4eq \r(7).