第二章达标检测-2022版数学必修第二册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.cos 45°·cos 15°+sin 225°·sin 165°的值为 (　　)
A.-32B.-12C.32D.12
2.已知角α终边上一点M的坐标为(1,3),则sin 2α= (　　)
A.-12B.12C.-32D.32
3.设单位向量a=223,sinα,则cos 2α的值为 (　　)
A.79B.-12C.-79D.32
4.若tanα+π3=23,则 (　　)
A.tan α=313B.tan α=337
C.tan 2α=2337D.tan 2α=7323
5.函数y=cosx+π4+sinx+π4·cosx+π4-sinx+π4在一个周期内的图象是(　　)

6.已知tan α=3(1+m),3(tan αtan β+m)+tan β=0,且α、β均为锐角,则α+β= (　　)
A.π4B.π6
C.π2D.π3
7.2002年国际数学家大会在北京召开,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,直角三角形中较小的锐角为θ,则sinθ+π2-cosθ-π3=(　　)

A.4+3310
B.4-3310
C.-4+3310
D.-4-3310
8.已知向量m=(2cos2x,3),n=(1,sin 2x),设函数f(x)=m·n,则下列关于函数f(x)的性质的描述正确的是　　 (　　)
A.其图象关于直线x=π12对称
B.其图象关于点5π12,0对称
C.最小正周期为2π
D.在-π3,0上是增函数
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.对任意锐角α,β,下列不等关系中不正确的是 (　　)
A.sin(α+β)>sin α+sin β
B.sin(α+β)>cos α+cos β
C.cos(α+β) D.cos(α+β) 10.已知函数f(x)=sin x+cos x,则 (　　)
A. f(x)的最小正周期为2π
B. f(x)图象的一条对称轴方程为x=π4
C. f(x)的最小值为-2
D. f(x)在0,π2上为增函数
11.给出下列命题,其中正确的命题有 (　　)
A.若f(tan x)=sin 2x,则f(-1)=-1
B.方程sin x=lg x有三个实数根
C.函数y=1-2cos x-2sin2x的值域是-32,3
D.把y=cos x+cosπ3+x写成一个角的正弦形式是y=3sinπ3+x
12.已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x,则 (　　)
A.函数f(x)在区间0,π8上为增函数
B.直线x=3π8是函数f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)的图象可由函数y=22sin 2x的图象向右平移π8个单位得到
D.对任意x∈R,恒有f π4+x+f(-x)=-1
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.化简sin(x+60°)+2sin(x-60°)-3cos(120°-x)的结果是　　　　. 
14.设函数f(x)=2cos2x+3sin 2x+a,已知当x∈0,π2时,f(x)的最小值为-2,则a=　　　　. 
15.已知方程cos 2x+3sin 2x=k+1在区间0,π2内有两个不同的解α,β,则实数k的取值范围是　　　　. 
16.已知函数f(x)=sin xcos x-3sin2x,设α∈π2,π,fα2=14-32,则sin α=　　　　,cos α=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) 
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)从①cosx+π4,②sin2x2-π4这两个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.
已知函数f(x)=g(x)h(x),其中g(x)=22sin x,h(x)=　　　　. 
(1)写出函数f(x)的一个周期(不用说明理由);
(2)当x∈-π4,π4时,求函数f(x)的最大值和最小值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.









18.(本小题满分12分)已知α∈π2,π,β∈0,π2,cos(α-β)=17,α+β=2π3.
(1)求sin(2α-2β)的值;
(2)求cos α的值.



















19.(本小题满分12分)已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32.



















20.(本小题满分12分)设f(x)=23cosπ2+xsin x+(sin x+cos x)2-1.
(1)求f(x)的最小正周期及f(x)图象的对称轴方程;
(2)讨论f(x)在π6,5π6上的单调性及最值.


















21.(本小题满分12分)设向量a=(22sin α,1),b=12,2cosα,其中α∈π2,π.
(1)若a⊥b,求sinα+2cosα2sinα-cosα的值;
(2)若|a-2b|=22,求sin2α+π3的值.
















22.(本小题满分12分)已知C,D是两个小区的所在地,C,D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1 km,DB=2 km,A,B两地之间的距离为4 km.
(1)如图1所示,某移动公司将在A,B之间找一点M,在M处建造一个信号塔,使得M对C,D的张角与M对C,A的张角相等,试确定点M到点A的距离;
(2)如图2所示,某公交公司将在A,B之间找一点N,在N处建造一个公交站台,使得N对C,D两个小区的视角∠CND最大,试确定点N到点A的距离.




答案全解全析
一、单项选择题
1.D　cos 45°·cos 15°+sin 225°·sin 165°=cos 45°·cos 15°+(-sin 45°)·sin 15°
=cos 45°·cos 15°-sin 45°·sin 15°
=cos(45°+15°)=cos 60°=12.
2.D　由角α终边上一点M的坐标为(1,3),得r=1+(3)2=2,
∴sin α=32,cos α=12,
∴sin 2α=2sin αcos α=32.故选D.
3.A　∵|a|=sin2α+89=1,∴sin2α=19,∴cos 2α=1-2sin2α=79.故选A.
4.D　易得tan α=tanα+π3-π3=tanα+π3-tanπ31+tanα+π3tanπ3=23-31+23×3=37,
∴tan 2α=2tanα1-tan2α=2371-349=7323.故选D.
5.B　∵y=cosx+π4+sinx+π4·cosx+π4-sinx+π4
=cos2x+π4-sin2x+π4
=cos2x+π2=-sin 2x,
∴其最小正周期为π,且函数图象与函数y=sin 2x的图象关于x轴对称,
故选B.
6.D　由tan α=3(1+m)得3m=tan α-3,
∴3(tan αtan β+m)+tan β=3tan αtan β+tan α-3+tan β=0,
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=3,
又∵α、β均为锐角,∴α+β=π3.
7.B　根据大正方形的边长为5,小正方形的边长为1,可得每个直角三角形的面积为(25-1)÷4=6.
设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,
则有12ab=6,又a2+b2=52,
所以a=3,b=4或a=4,b=3,
所以cos θ=45,sin θ=35,
所以sinθ+π2-cosθ-π3=cos θ-12cos θ-32sin θ=12cos θ-32sin θ=12×45-32×35=4-3310.故选B.
8.D　f(x)=2cos2x+3sin 2x=cos 2x+3sin 2x+1=2sin2x+π6+1.
当x=π12时,sin2x+π6=sinπ3=32≠±1,∴f(x)的图象不关于直线x=π12对称,选项A错误;
当x=5π12时,2sin2x+π6+1=1,∴f(x)的图象关于点5π12,1对称,不关于点5π12,0对称,选项B错误;
f(x)的最小正周期T=2π2=π≠2π,选项C错误;
当x∈-π3,0时,2x+π6∈-π2,π6,∴f(x)在-π3,0上是增函数,选项D正确.
二、多项选择题
9.ABC　当α=β=30°时,sin(α+β)sin α+sin β,可知C不正确;由0°<α<α+β<180°,得cos(α+β)0,所以cos(α+β) 10.AB　∵f(x)=sin x+cos x=2sinx+π4,
∴f(x)的最小正周期为2π,故A正确;
∵fπ4=2sinπ2=2,为最大值,∴f(x)图象的一条对称轴方程为x=π4,故B正确;
f(x)的最小值为-2,故C错误;
由x∈0,π2,得x+π4∈π4,3π4,则f(x)在0,π2上先增后减,故D错误.
故选AB.
11.ABC　由题意得tan x=-1,所以x=3π4+kπ,k∈Z,所以2x=3π2+2kπ,k∈Z,所以sin 2x=-1,故A正确;
画出函数y=sin x与y=lg x的图象(图略),可知函数y=sin x与函数y=lg x的图象有三个交点,故方程sin x=lg x有三个实数根,故B正确;
y=1-2cos x-2sin2x=2cos2x-2cos x-1,令t=cos x,t∈[-1,1],则y=2t2-2t-1,所以函数的值域是-32,3,故C正确;
y=cos x+cosπ3+x=32cos x-32sin x=3sinπ3-x,故D错误.故选ABC.
12.ABD　f(x)=12sin 2x-1+cos2x2
=22sin2x-π4-12.
当x∈0,π8时,2x-π4∈-π4,0,函数f(x)为增函数,故A正确;
令2x-π4=π2+kπ,k∈Z,得x=3π8+kπ2,k∈Z,显然直线x=3π8是函数 f(x)图象的一条对称轴,故B正确;
将函数y=22sin 2x的图象向右平移π8个单位得到函数y=22sin2x-π8=22sin2x-π4的图象,故C错误;
fπ4+x+f(-x)=22sin2x+π4-12+22sin-2x-π4-12=22sin2x+π4-22sin2x+π4-1=-1,故D正确.故选ABD.
三、填空题
13.答案　0
解析　原式=sin(x+60°)-3cos[180°-(x+60°)]+2sin(x-60°)
=sin(x+60°)+3cos(x+60°)+2sin(x-60°)
=2sin(x+60°+60°)+2sin(x-60°)
=2sin(x-60°+180°)+2sin(x-60°)
=-2sin(x-60°)+2sin(x-60°)
=0.
14.答案　-2
解析　f(x)=2cos2x+3sin 2x+a=1+cos 2x+3sin 2x+a=2sin2x+π6+a+1,
∵x∈0,π2,
∴2x+π6∈π6,7π6,
当2x+π6=7π6时,f(x)取得最小值a,
∴a=-2.
15.答案　[0,1)
解析　方程cos 2x+3sin 2x=k+1在0,π2上有两个不同的实数解,等价于函数y=cos 2x+3sin 2x=2sin2x+π6的图象与直线y=k+1在区间0,π2上有两个交点.
画出图象如图,

所以1≤k+1<2⇔0≤k<1.
16.答案　1+358;3-158
解析　f(x)=sin xcos x-3sin2x
=12sin 2x-3×1-cos2x2
=12sin 2x+32cos 2x-32
=sin2x+π3-32,
所以fα2=sinα+π3-32=14-32,所以sinα+π3=14.
因为α∈π2,π,所以5π6<α+π3<4π3,
所以cosα+π3=-154,
所以sin α=sinα+π3-π3=14×12--154×32=1+358,cos α=cosα+π3-π3=-154×12+14×32=3-158.
四、解答题
17.解析　选择条件①.
(1)因为f(x)=22sin xcosx+π4
=2sin x(cos x-sin x)
=2sin xcos x-2sin2x
=sin 2x+cos 2x-1
=2sin2x+π4-1, (4分)
所以函数f(x)的一个周期为π.(答案不唯一) (5分)
(2)因为x∈-π4,π4,
所以2x+π4∈-π4,3π4,
当2x+π4=-π4,即x=-π4时,函数f(x)取得最小值-2, (8分)
当2x+π4=π2,即x=π8时,函数f(x)取得最大值2-1. (10分)
选择条件②.
(1)因为f(x)=22sin xsin2x2-π4
=2sin x1-cosx-π2
=2sin x(1-sin x)
=-2(sin2x-sin x). (4分)
所以函数f(x)的一个周期为2π.(答案不唯一) (5分)
(2)因为x∈-π4,π4,
所以sin x∈-22,22.
当sin x=12,即x=π6时,函数f(x)取得最大值24, (8分)
当sin x=-22,即x=-π4时,函数f(x)取得最小值-22-1. (10分)
18.解析　(1)∵α∈π2,π,β∈0,π2,∴α-β∈(0,π),
∴sin(α-β)=1-cos2(α-β)=437, (4分)
∴sin(2α-2β)=2sin(α-β)cos(α-β)=8349.(6分)
(2)∵α+β=2π3,
∴sin(α+β)=32,cos(α+β)=-12.
∴cos 2α=2cos2α-1=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)·cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=-12×17-32×437=-1314, (10分)
解得cos α=714(舍去)或cos α=-714. (12分)
19.证明　∵sin A=-(sin B+sin C),cos A=-(cos B+cos C),sin2A+cos2A=1,
∴(sin B+sin C)2+(cos B+cos C)2=1,
即sin2B+2sin Bsin C+sin2C+cos2B+2cos B·cos C+cos2C=1,(2分)
∴2+2cos(B-C)=1,即cos(B-C)=-12, (4分)
∴cos 2A+cos 2B+cos 2C
=2cos2A-1+cos 2B+cos 2C
=2cos2B+2cos2C+4cos Bcos C-1+cos 2B+cos 2C
=2cos 2B+2cos 2C+4cos Bcos C+1
=4cos(B+C)cos(B-C)+2[cos(B+C)+cos(B-C)]+1
=-2cos(B+C)+2cos(B+C)-1+1=0, (8分)
∴cos2A+cos2B+cos2C=1+cos2A2+1+cos2B2+1+cos2C2
=32+12(cos 2A+cos 2B+cos 2C)=32. (12分)
20.解析　(1)f(x)=23cosπ2+xsin x+(sin x+cos x)2-1
=-23sin2x+(1+sin 2x)-1
=-3(1-cos 2x)+1+sin 2x-1
=3cos 2x+sin 2x-3
=2sin2x+π3-3, (4分)
∴最小正周期T=2π2=π, (5分)
令2x+π3=kπ+π2,k∈Z,
解得x=kπ2+π12,k∈Z,
∴图象的对称轴方程为x=kπ2+π12,k∈Z. (6分)
(2)∵x∈π6,5π6,
∴2x+π3∈2π3,2π,
令2x+π3=3π2,解得x=7π12, (8分)
∴f(x)在π6,5π6上的单调减区间为π6,7π12,单调增区间为7π12,5π6, (10分)
f(x)的最小值为f7π12=-2-3,最大值为fπ6=0. (12分)
21.解析　(1)若a⊥b,则2sin α+2cos α=0,得tan α=-1, (2分)
所以sinα+2cosα2sinα-cosα=tanα+22tanα-1=-13. (4分)
(2)因为a=(22sin α,1),
b=12,2cosα,
所以a-2b=(22sin α-1,1-22cos α).
因为|a-2b|=22,所以(a-2b)2=8,
即8sin2α-42sin α+1+1-42cos α+8cos2α=8,化简得22sin α+22cos α=1,
即4sinα+π4=1,所以sinα+π4=14. (6分)
因为α∈π2,π,所以α+π4∈3π4,5π4,所以cosα+π4=-154, (8分)
所以sin2α+π4
=2sinα+π4cosα+π4=-158,
cos2α+π4=1-2sin2α+π4=78, (10分)
所以sin2α+π3=sin2α+π4-π6=sin2α+π4cosπ6-cos2α+π4sinπ6=-158×32-78×12=-35+716. (12分)
22.解析　(1)设MA=m km,∠CMA=θ,
则MB=(4-m)km,∠CMD=θ,∠BMD=π-2θ.
依题意得tan θ=1m,tan 2θ=-24-m, (2分)
由tan 2θ=2tanθ1-tan2θ得-24-m=2m1-1m2,
解得m=14,
故点M到点A的距离为14 km. (4分)
(2)设∠CNA=α,∠DNB=β,
则∠CND=π-(α+β).
设AN=x km,则NB=(4-x)km,
所以tan α=1x,tan β=24-x ,tan∠CND=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β)=x+4x2-4x+2, (6分)
记f(x)=x+4x2-4x+2(0 对x的范围进行分类讨论:
①当x接近2±2这两个值时,f(x)趋近于正无穷,此时∠CND趋近于90°;
②当0 ③当2-2 令x+4=t,则6-2 则y=tt2-12t+34=1t+34t-12≤1234-12=-6+344,
当且仅当t=34时,等号成立,此时ymax=-6+344,∠CDN最大,x=t-4=34-4.
故当∠CND最大时,点N到点A的距离为(34-4)km. (12分)