2021年北京大兴区首都师范大学大兴附属中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京大兴区首都师范大学大兴附属中学九年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 抛物线 y=x2−2x 的对称轴是
A. 直线 x=−2B. 直线 x=−1C. y 轴D. 直线 x=1

2. 平面直角坐标系内一点 P−2,3 关于原点对称的点的坐标是 ．
A. （−2,3）B. （2,3）C. （−2,−3）D. （2,−3）

3. 如图所示的主视图和俯视图对应的几何体（阴影所示为右）是
A. B.
C. D.

4. 如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中阴影区域的概率是
A. 718B. 529C. 12D. 59

5. 已知 AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，延长 CD 至点 E，使 DE=CD，那么点 E 的位置是
A. 在 ⊙O 内B. 在 ⊙O 上C. 在 ⊙O 外D. 不能确定

6. 如图，点 A 是圆 O 上一点，BC 是圆 O 的弦，若 ∠A=50∘，则 ∠OBC 的度数
A. 40∘B. 50∘C. 25∘D. 100∘

7. 下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是
A. B.
C. D.

8. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y=−x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是
A. 4 米B. 3 米C. 2 米D. 1 米

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 在 Rt△ABC 中，sinA=12，则 ∠A 等于 ∘．

10. 等腰三角形中，如果腰与底边之比为 5:8，那么底角的余弦值为 ．

11. 如图，点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，AB 垂直于 x 轴，若 S△AOB=4，那么这个反比例函数的解析式为 ．

12. 如图，⊙O 是边长为 2 的等边 △ABC 的内切圆，则 ⊙O 的半径为 ．

13. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴在 y 轴的右侧，其图象与 x 轴交于点 A−1,0 与点 Cx2,0，且与 y 轴交于点 B0,−2，小强得到以下结论：① 05−1；
以上结论中正确结论的序号为 ．

14. 如果将抛物线 y=x−12 先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，那么所得的新抛物线的解析式为 ．

15. 关于 x 的二次函数 y=k2+1x2+k−1x+2 的图象的开口方向是 ．

16. 一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从 0 到 9 的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 12019，则密码的位数至少需要 位．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 若 120∘ 的圆心角所对的弧长是 12π cm，则此弧所在圆的半径为多少 cm?

18. 如图所示，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mx 的图象交于 A−2,1，B1,n 两点，
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）求使一次函数的值大于反比例函数的值时 x 的取值范围．

19. 计算：4cs30∘+π−30−12−∣−1∣．

20. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，∠B=30∘，BD=18 厘米．求 AC 的长．

21. 画出下列函数的大致图象．
（1）y=−x−22
（2）y=2x+12

22. 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O 及 ⊙O 外一点 P．
求作：⊙O 的一条切线，使这条切线经过点 P．
作法：
①连接 OP，作 OP 的垂直平分线 l，交 OP 于点 A；
②以 A 为圆心，AO 长为半径作圆，交 ⊙O 于点 M；
③作直线 PM，则直线 PM 即为 ⊙O 的切线．
根据小芸设计的尺规作图过程．
（1）用直尺和圆规，在下图中补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成证明．

23. 若抛物线 y=x2−2x+m−1 与 x 轴有交点，求 m 的取值范围．

24. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是 OA 的中点，CD⊥OA 交 ⊙O 于点 D，连接 OD．
（1）如图①，求 ∠AOD 的度数．
（2）如图②，PD 切 ⊙O 于点 D，交 BA 的延长线于点 P，过点 A 作 AE∥PD 交 ⊙O 于点 E，交 DO 于点 F，若 ⊙O 的半径为 4，求 AE 的长．

25. 已知长方形的长是宽的 2 倍，设长为 y，宽为 x．
（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围；
（2）画出该函数的图象．

26. 抛物线 y1=x2+bx+c 与直线 y2=2x+m 相交于 A1,4，B−1,n 两点．
（1）求 y1 和 y2 的解析式．
（2）直接写出 y1−y2 的最小值．

27. 已知，在 △ABC 中，∠A=90∘，AB=AC，点 D 为 BC 的中点．
（1）如图①，若点 E，F 分别为 AB，AC 上的点，且 DE⊥DF，求证：BE=AF．
（2）若点 E，F 分别为 AB，CA 延长线上的点，且 DE⊥DF，那么 BE=AF 吗?请利用图②说明理由．

28. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=12，sinB=34，求 BC 的长和 sinA 的值．
答案
第一部分
1. D【解析】抛物线 y=x2−2x 的对称轴是直线 x=−−22×1=1．
2. D
3. B【解析】观察选项中的几何体，可知B选项中的几何体的主视图和俯视图与题图相符．
4. A【解析】设小正方形的边长为 1，
则阴影区域的面积 =3×3−12×3×1−12×2×1−12×3×2=72，
游戏板的面积为 3×3=9，
所以击中阴影区域的概率 =729=718．
故选A．
5. B
6. A【解析】∵∠BAC 与 ∠BOC 为 BC 所对的圆周角和圆心角，
∴∠O=2∠BAC=100∘，
又 ∵OB=OC，
∴∠OBC=12180∘−∠O=40∘．
7. C
8. A
第二部分
9. 30
【解析】在 Rt△ABC 中，sinA=12，
∴∠A=30∘，
故答案为：30．
10. 45
11. y=−8x
12. 33
13. ①④
【解析】根据抛物线与 y 轴交于点 B0,−2，可得 c=−2，依此判断③；由抛物线图象与 x 轴交于点 A−1,0，可得 a−b−2=0，依此判断①②；由 ∣a∣=∣b∣ 可得二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=12，可得 x2=2，比较大小即可判断④，从而求解．
由 A−1,0，B0,−2，得 b=a−2，
∵ 开口向上，
∴a>0．
∵ 对称轴在 y 轴右侧，
∴−b2a>0．
∴−a−22a>0．
∴a−2<0．
∴a<2．
∴0故①正确．
∵ 抛物线与 y 轴交于点 B0,−2，
∴c=−2，
故③错误．
由 b=a−2，0得 −2故②错误．
∵∣a∣=∣b∣，二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴在 y 轴的右侧，
∴ 二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=12．
∴x2=2>5−1．
故④正确．
14. y=x+12+1
15. 向上
16. 4
【解析】当密码的位数是一位时，一次就拨对密码的概率为 110；
当密码的位数是两位时，一次就拨对密码的概率为 1100；
当密码的位数是三位时，一次就拨对密码的概率为 11000；
当密码的位数是四位时，一次就拨对密码的概率为 110000；
故要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 12019，密码的位数至少需要 4 位．
故答案为 4．
第三部分
17. 由题意得 120πr180=12π，
解得 r=18．
18. （1） ∵ 把 A−2,1 代入 y=mx 得：m=−2，
∴ 反比例函数的解析式是 y=−2x；
∵ 把 B1,n 代入反比例函数 y=−2x，
得：n=−2，
∴B 的坐标是 1,−2，
把 A，B 的坐标代入一次函数 y=kx+b 得：−2k+b=1,k+b=−2,
解得：k=−1，b=−1，
∴ 一次函数的解析式是 y=−x−1．
（2） 从图象可知：当反比例函数的值大于一次函数值时 x 的取值范围 −21．
19. 原式=4×32+1−23−1=23+1−23−1=0.
20. 12 厘米．
21. （1） 函数图象如图所示：
（2） 函数图象如图所示：
22. （1） 如图所示：
PM 即为所求作的 ⊙O 的切线．
（2） 如图，连接 OM，
根据作图过程可知，OP 为 ⊙O 的直径，
所以 ∠PMO=90∘，即 OM⊥PM，
又 OM 为 ⊙O 的半径，
所以 PM 为 ⊙O 的切线．
23. m≤2．
24. （1） 连接 DA，如图①，
∵ 点 C 是 OA 的中点，DC⊥OA，
∴AD=DO，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD，
∴△AOD 是等边三角形，
∴∠AOD=60∘．
（2） 连接 AD，如图②，
∵PD 与 ⊙O 相切，
∴PD⊥DO，
∵AE∥PD，
∴AE⊥OD，
∵△AOD 是等边三角形，
∴∠DAO=60∘，
∴∠FAO=30∘，
∴FO=12AO=2，
AF=42−22=23．
∴AE=2AF=43．
25. （1） y=2xx>0．
x12y24
（2） 图象如图．
26. （1） 将点 A1,4 代入 y2=2x+m 中得，
4=2+m，即 m=2，
∴y2=2x+2，
将 B−1,n 代入 y2=2x+2 中得，
n=−2+2 即 n=0，
∴ 点 B−1,0，
将点 A1,4 和点 B−1,0 代入 y1=x2+bx+c 中得，
4=1+b+c,0=1−b+c, 解得 b=2,c=1,
∴y1=x2+2x+1．
（2） y1−y2=x2+2x+1−2x+2=x2+2x+1−2x−2=x2−1,
对称轴：x=−b2a=0，
∴ 当 x=0 时，y1−y2 有最小值是 −1．
27. （1） 连接 AD，如图①所示．
∵∠A=90∘，AB=AC，
∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD=45∘．
∵ 点 D 为 BC 的中点，
∴AD=12BC=BD，∠FAD=45∘．
∵∠BDE+∠EDA=90∘，∠EDA+∠ADF=90∘，
∴∠BDE=∠ADF．
在 △BDE 和 △ADF 中，
∠EBD=∠FAD,BD=AD,∠BDE=∠ADF,
∴△BDE≌△ADFASA，
∴BE=AF．
（2） 连接 AD，如图②所示．
∵∠ABD=∠BAD=45∘，
∴∠EBD=∠FAD=135∘．
∵∠EDB+∠BDF=90∘，∠BDF+∠FDA=90∘，
∴∠EDB=∠FDA．
在 △EDB 和 △FDA 中，
∠EBD=∠FAD,BD=AD,∠EDB=∠FDA,
∴△EDB≌△FDAASA，
∴BE=AF．
28. ∵AC=12，sinB=ACAB=34，
∴AB=16．
∴BC=AB2−AC2=162−122=47．
∴sinA=BCAB=4716=74．