2021年北京顺义区顺义区沿河中学八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京顺义区顺义区沿河中学八年级下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在平面直角坐标系中，点 P2,−3 关于原点的对称点的坐标是
A. 2,3B. −2,3C. −2,−3D. −3,2

2. 下列两个电子数字成中心对称的是
A. B.
C. D.

3. 若正多边形的内角和是 540∘，则该正多边形的一个外角为
A. 45∘B. 60∘C. 72∘D. 90∘

4. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点．下列说法错误的是
A. BC=2DEB. DE∥BCC. AD=BDD. DE=AE

5. 已知 m 为实数，则关于 x 的方程 x2−m−2x−2m=0 的实数根情况一定是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个实数根D. 没有实数根

6. 小明家位于公园的正东 200 m 处，从小明家出发向北走 300 m 就到小华家，若选取小华家为原点，分别以正东，正北方向为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表 1 m 长，则公园的坐标是
A. −300,−200B. 200,300
C. −200,−300D. 300,200

7. 下列各图象中，y 不是 x 的函数的是
A. B.
C. D.

8. 下列结论中，不正确的是
A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 已知函数 fx=x2x+3，那么自变量 x 的取值范围是 ．

10. 已知直角三角形的两条直角边长为 6，8，那么斜边上的中线长是 ．

11. 四边形 ABCD 中，已知 ∠A=∠B=∠C=90∘，再添加一个条件，使得四边形 ABCD 为正方形，可添加的条件是 （答案不唯一，只添加一个即可）．

12. 函数 y=kx+1k≠0 的图象上有两点 P1−1,y1，P21,y2，若 y1
13. 若关于 x 的方程 x2−kx−12=0 的一个根为 3，则 k 的值为 ．

14. 在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则 kb 0（填“>”“=”或“<”）．

15. 已知样本 x1，x2，x3，x4 的平均数是 x，方差是 s2，则样本 x1+3，x2+3，x3+3，x4+3 的平均数是 ；方差是 ．

16. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=120∘，AD⊥BC，则 ∠BAD= ∘．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 为加快城乡绿化建设，某市 2020 年绿化面积约为 1000 万平方米，预计 2022 年绿化面积约为 1210 万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同，求每年绿化面积的平均增长率．

18. 用配方法解方程 x2+6x+5=0．

19. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 与 BA，DC 的延长线分别相交于点 E，F．求证：OE=OF．

20. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线 l 及直线 l 外一点 P．
求作：直线 PQ，使得 PQ∥l．
作法：如图，
①任意取一点 K，使点 K 和点 P 在直线 l 的两侧；
②以 P 为圆心，PK 长为半径画弧，交 l 于点 A，B，连接 AP；
③分别以点 P，B 为圆心，以 AB，PA 长为半径画弧，两弧相交于点 Q（点 Q 和点 A 在直线 PB 的两侧）；
④作直线 PQ．
所以直线 PQ 就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 BQ，
∵PQ= ，BQ= ，
∴ 四边形 PABQ 是平行四边形（ ）（填推理依据）．
∴PQ∥l．

21. 已知一次函数图象经过 3,5，−4,−9 两点．
（1）求该一次函数解析式，并画出图象；
（2）求不等式 2x−1>0 的解集；
（3）若 −1
22. 关于 x 的一元二次方程 x2−2kx+k2+k−2=0 有两个实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 k 为正整数，且方程的根都是正整数，求此时 k 的值．

23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AB=5，AC=6，BD=8．
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，求 AH 的长．

24. 为贯彻落实教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》通知要求，培养学生劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从校七至九年级各随机抽取 30 名学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述，下面是其中的部分信息：
a. 90 名学生每日平均家务劳动时长的频数分布表：
分组频数20≤x<25925≤x<30m30≤x<351535≤x<402440≤x<45n45≤x<509合计90
b. 90 名学生每日平均家务劳动时长频数分布直方图：
c.每日平均家务劳动时长在 35≤x<40 这一组的是：
353535353636363636373737383838383838383939393939
d.小东每日平均家务劳动时长为 37 min．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出频数分布表中的数值 m= ，n= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小东每日平均家务劳动时长 样本中一半学生的每日平均家务劳动时长；（填“超过”或“没超过”）
（4）学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长达到 40 min 及以上的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有 420 名学生，请估计获奖的学生人数．

25. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90∘，BC=21，AD=16．动点 P 从点 B 出发，沿射线 BC 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 A 同时出发，在线段 AD 上以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设点 Q 运动的时间为 t（秒）．当 t 为何值时，以 P，C，D，Q 为顶点的四边形是平行四边形?

26. 小明从学校出发，匀速骑行到相距 2400 米的图书馆，小明出发的同时，同学小阳以每分钟 80 米的速度从图书馆沿同一条道路步行回学校，两人离学校的路程 y（单位：米）与时间 x（单位：分钟）的函数图象如图所示．
（1）阅读分析题目的文字及图象信息，直接写出能推理得到的三条不同的结论；
（2）若小明在图书馆停留 5 分钟后沿原路按原速返回，请补全小明离学校的路程 y 与 x 的函数图象；
（3）小明从学校出发，经过多长时间在返校途中追上小阳?

27. 如图，四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形，点 G，E 分别是边 AB，BC 的中点，∠AEF=90∘，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F．
（1）求证：∠BAE=∠FEC；
（2）求证：△AGE≌△ECF；
（3）求 △AEF 的面积．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于与坐标轴不平行的直线 l 和点 P，给出如下定义：过点 P 作 x 轴，y 轴的垂线，分别交直线 l 于点 M，N，若 PM+PN>2，则称 P 为直线 l 的平安点．
已知点 A−2,0，B0,1，C−1,1．
（1）当直线 l 的表达式为 y=x 时，
①在点 A，B，C 中，直线 l 的平安点是 ；
②若以 OB 为边的矩形 OBEF 上存在直线 l 的平安点，则点 E 的横坐标 n 的取值范围 ；
③若直线 y=kx+bk,b≠0 被坐标轴所截得的线段上所有的点都是直线 l 的平安点，则 k，b 应满足的条件为 ；
（2）当直线 l 的表达式为 y=kx 时，若点 C 是直线 l 的平安点，求 k 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. C【解析】∵ 正多边形的内角和是 540∘，
∴ 正多边形的边数为 540∘÷180∘+2=5，
∵ 多边形的外角和都是 360∘，
∴ 该正多边形的每个外角 =360∘÷5=72∘．
故选C．
4. D
5. C
【解析】Δ=m−22−4×−2m=m+22．
对于任意实数 m，都有 m+22≥0，即 Δ≥0，
所以原方程一定有两个实数根．
6. C【解析】以小华家为原点，分别以正东，正北方向为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，
小明家位于小华家正南方 300 m，小明家的坐标为 0,−300，
公园位于小明家正西方 200 m，公园的坐标是 −200,−300．
7. A
8. C【解析】一组对边平行，一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形.
第二部分
9. x≠−32
【解析】∵2x+3≠0，
∴x≠−32．
10. 5
【解析】设直角三角形的斜边长为 c，由勾股定理，得 c2=62+82=100，
所以 c=10．
所以所求斜边上的中线长为 10×12=5．
11. AB=BC（或 BC=CD，CD=AD，AD=AB，AC⊥BD）
12. 1（答案不唯一）
【解析】∵−1<1，且 y1 ∴y 随 x 的增大而增大，
∴k>0．
故 k 的值可以为 1（答案不唯一）．
13. −1
【解析】把 x=3 代入方程 x2−kx−12=0 得：9−3k−12=0，
解得：k=−1．
14. <
【解析】∵ 一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴kb<0．
15. x+3，s2
【解析】平均数 xʹ=14x1+3+x2+3+x3+3+x4+3=x+3，
方差
sʹ2=14x1+3−x−32+x2+3−x−32+⋯+x4+3−x−32=s2.
16. 60
【解析】∵AB=AC，∠BAC=120∘，
∴∠B=∠C=30∘，
又 ∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90∘，
∴∠BAD=90∘−30∘=60∘．
故答案为 60．
第三部分
17. 设每年绿化面积的平均增长率为 x．
由题意，得
10001+x2=1210.
解得
x1=0.1=10%,x2=−2.1不合题意,舍去.
答：每年绿化面积的平均增长率为 10%．
18.
x2+6x=−5.x2+6x+32=−5+32.x+32=4.x+3=±4.x=−3±2.
即
x1=−5,x2=−1.
19. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AO=CO，
∴BE∥DF．
∴∠AEO=∠CFO．
在 △OAE 和 △OCF 中，
∠AEO=∠CFO,∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△OAE≌△OCF．
∴OE=OF．
20. （1） 补全的图形如图所示：
（2） AB；PA；两组对边分别相等的四边形是平行四边形
21. （1）
设一次函数解析式为 y=kx+b，
则 3k+b=5,−4k+b=−9,
解得 k=2,b=−1.
∴ 一次函数解析式为 y=2x−1．
（2） 由图象可得：不等式 2x−1>0 的解集为 x>12．
（3） ∵−1 ∴−1<2x−1<1，
∴022. （1） Δ=2k2−4k2+k−2≥0，
解得 k≤2；
（2） 当 k=1 时，方程变形为 x2−2x=0，解得 x1=0，x2=2，当 k=2 时，方程变形为 x2−4x+4=0，解得 x1=x2=2，所以满足条件的 k 的值为 2．
23. （1）易得 AO=3，BO=4，AO2+BO2=25=AB2，
∴∠AOB=90∘．
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形；
（2）∵ 平行四边形 ABCD 是菱形，
∴BC=AB=5．
S菱形ABCD=12AC⋅BD=BC⋅AH，5AH=24，AH=245．
24. （1） 12；21
【解析】由频数分布直方图得：m=12，
n=90−9−12−15−24−9=21，
故答案为：12，21．
（2） 根据 n=21 补全频数分布直方图如下：
（3） 超过
【解析】在 35≤x<40 这一组内，每日平均家务劳动时长达到 37 min 及以上的学生人数为 15 人，则在样本中，每日平均家务劳动时长达到 37 min 及以上的学生人数为 15+21+9=45（人），因此，每日平均家务劳动时长低于 37 min 的人数为 45 人，故小东每日平均家务劳动时长超过了样本中一半学生的每日平均家务劳动时长，故答案为：超过．
（4） 420×21+990×100%=140（名）．
答：估计获奖的学生人数为 140 名．
25. （1）当点 P 未到达 C 点时，
∵ 四边形 PCDQ 是平行四边形，
∴16−t=21−2t，解得 t=5．
（2）当点 P 在 BC 的延长线上时，
∵ 四边形 CPDQ 是平行四边形，
∴16−t=2t−21，解得 t=373，综上所述，以 P，Q，C，D 为顶点的四边形是平行四边形时，t 的值是 5 或 373．
26. （1） 答案不唯一，如：
①小明骑车的速度为每分钟 240 米；
②点 C 的坐标为 30,0；
③线段 OA 的函数表达式为 y=240x0≤x≤10；
④线段 BC 是小阳离校的路程与时间的函数图象．
（2） 用点 D 表休息 5 分钟后起点，则 AD=5，
∵ 原路按原速返回，返回时间与去时时间相同，用 E 点表示返回学校点 E25,0 补全图象如图所示：
（3） 设 DE 的表达式为 y=kx+bk≠0，
∵D15,2400，E25,0，
∴15k+b=2400,25k+b=0.
解得 k=−240,b=6000.
∴y=−240x+600015≤x≤25．
∵ 小阳以每分钟 80 米的速度从图书馆沿同一条道路步行回学校，
所用时间 2400÷80=30 分钟，
∴ 点 C30,0，
设 BC 解析式为 y=k1x+b1k≠0，
代入坐标得 b1=2400,30k1+b1=0,
解得 y=−80x+2400，
小明从学校出发在返校途中追上小阳，
由 y=−80x+2400,y=−240x+6000,
得 x=22.5,y=600.
答：小明从学校出发，经过 22.5 分钟追上小阳．
27. （1） 因为 ∠AEF=90∘，
所以 ∠FEC+∠AEB=90∘．
在 Rt△ABE 中，∠AEB+∠BAE=90∘，
所以 ∠BAE=∠FEC．
（2） 因为 G，E 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 的中点，
所以 AG=GB=BE=EC，且 ∠AGE=180∘−45∘=135∘．
又 CF 是 ∠DCH 的平分线，
所以 ∠ECF=90∘+45∘=135∘．
在 △AGE 和 △ECF 中，
AG=EC,∠AGE=∠ECF=135∘,∠GAE=∠FEC.
所以 △AGE≌△ECF．
（3） 由 △AGE≌△ECF，得 AE=EF．
又 ∠AEF=90∘，
所以 △AEF 是等腰直角三角形．
由 AB=a，BE=12a，知 AE=52a．
所以 S△AEF=58a2．
28. （1） ①如图，
根据直线 l 的平安点可知，在点 A，B，C 中，直线 l 的平安点是 A，C；
②若以 OB 为边的矩形 OBEF 上存在直线 l 的平安点，则点 E 的横坐标 n 的取值范围 n<0 或 n>2；
③若直线 y=kx+bk,b≠0 被坐标轴所截得的线段上所有的点都是直线 l 的平安点，则 k，b 应满足的条件为 ∣b∣>1 且 0 （2） 由题意知 C−1,1，M−1,−k，N1k,1，k≠0，
当 k>0 时，CM+CN=1+k+1k+1>2，
则 C 定为直线 l 的平安点；
当 −12，
解得 1−2则当 1−2当 k<−1 时，CM+CN=−1−k+1k+1>2，
解得 k>−1−2 或 k<−1−2，
则当 k<−1−2 时，C 为直线 l 的平安点．
综上所述，若点 C 是直线 l 的平安点，k 的取值范围为 k>0 或 1−2