中考数学课时复习（含答案）：70 尺规作图
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一、选择题
1．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（ ）
A．①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④
分析：根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．
解：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，
∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，
∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，
∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，
故正确的有①②④，故选B．
点评：本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．
二.填空题
1．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明） ．
考点： 作图—应用与设计作图．
分析： （1）直接利用勾股定理求出即可；
（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．
解答： 解：（Ⅰ）AC2+BC2=（）2+32=11；
故答案为：11；
（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；
延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，
则四边形ABST即为所求．
点评： 此题主要考查了应用设计与作图，借助网格得出正方形是解题关键．
三.解答题
1. 如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
考点： | 作图—基本作图；平行线的判定． |
分析： | （1）根据角平分线基本作图的作法作图即可； （2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论． |
解答： | 解：（1）如图所示： （2）DE∥AC ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE=∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC． |
点评： | 此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行． |
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连结AP，当∠B为 30 度时，AP平分∠CAB．
考点： | 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质 |
分析： | （1）运用基本作图方法，中垂线的作法作图， （2）求出∠PAB=∠PAC=∠B，运用直角三角形解出∠B． |
解答： | 解：（1）如图， （2）如图， ∵PA=PB， ∴∠PAB=∠B， 如果AP是角平分线，则∠PAB=∠PAC， ∴∠PAB=∠PAC=∠B， ∵∠ACB=90°， ∴∠PAB=∠PAC=∠B=30°， ∴∠B=30°时，AP平分∠CAB． 故答案为：30． |
点评： | 本题主要考查了基本作图，角平分线的知识，解题的关键是熟记作图的方法及等边对等角的知识． |
3. 如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是 90° ．
考点： | 作图-旋转变换． |
分析： | 分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案． |
解答： | 解：如图所示：旋转角度是90°． 故答案为：90°． |
点评： | 此题主要考查了旋转变换，得出旋转中心的位置是解题关键． |
4．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
考点： | 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；作图—基本作图． |
分析： | （1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可； （2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形． |
解答： | 解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD， ∵CF∥AB ∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED， 在△AED与△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD； （2）∵△AED≌△CFD， ∴AE=CF， ∵EF为线段AC的垂直平分线， ∴EC=EA，FC=FA， ∴EC=EA=FC=FA， ∴四边形AECF为菱形． |
点评： | 本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线． |
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
考点： | 作图—复杂作图；直线与圆的位置关系． |
分析： | （1）根据角平分线的作法求出角平分线BO； （2）过O作OD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DO=CO，再根据切线的判定定理即可得出答案． |
解答： | 解：（1）如图： （2）AB与⊙O相切． 证明：作OD⊥AB于D，如图． ∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB， ∴OD=OC， ∴AB与⊙O相切． |
点评： | 此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键． |
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