巩固练习_解三角形应用举例_提高

【巩固练习】

一、选择题

1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)

A． m　　　　　　　　 B． m

C． m   D. m

2．（2016春  孝感期中）如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（    ）

A．100米    B．米    C．米    D．米

3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于(　　)

A．240(－1)m B． 180(－1)m C． 120(－1)m D． 30(＋1)m

4．如右图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据(　　)

A．α，a，b   B．α，β，a

C．a，b，γ   D．α，β，b

5.有一长为10m的斜坡，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为，则坡底要延长（   ）

A.5m              B.10m                   C.m          D.m

6.（2016  遂宁模拟改编）海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为（      ）小时。

A.               B.              C.           D.1

填空题

7. 一艘船以的速度向正北方向航行,船在处看见灯塔在船的东北方向上,后船在处看见灯塔在船的北偏东的方向上,这时,船与灯塔的距离        ；

8. (2015  湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_________m.

9. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于　  　m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)

解答题

10．如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？

11．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？

12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东 的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和角的正弦值．

13. 如图，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为25°，∠BAD=110°，又在B点测得∠ABD=40°，其中D是点C在水平面上的垂足，求山高CD.(精确到1m)

14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东的方向航行后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?

15. 如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.

16. （2016  南通模拟）如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点D的正东方向千米处。

（1）游客甲沿CA从景点C出发行至景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；

（2）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米／小时，乙的速度为2千米／小时。若甲乙两人这间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）

【答案与解析】

1．答案：　A

解析：在△ABC中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°

∴∠ABC＝30°，由正弦定理：

∴AB＝＝m．故选A.

2. 答案：　D

解析：设AB=x m，则由题意，∠D=30°，∠ACB=45°，

在Rt△ABC中，BC=AB=x，

在Rt△ADB中，DB=CD+BC=100+x，

∴，即，解得。

∴山AB的高度为米。

故选D。

3. 答案：C

解析：如图，

由图可知，∠DAB＝15°，

∵

在Rt△ADB中，又AD＝60，

∴DB＝AD•tan15°＝60×(2－)＝120－60．

在Rt△ADB中，∠DAC＝60°，AD＝60，

∴DC＝AD•tan60°＝60．

∴BC＝DC－DB＝60－(120－60)＝120()(m)．

∴河流的宽度BC等于120()m．

故选：C．

4. 答案：　C

解析：　由A与B不可到达，故不易测量α，β，故选C.

5. 答案：　C

解析：在△ABB’中由正弦定理,得

6. 答案：　B

解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，

如图，则由已知得△ABC中，AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，

由余弦定理得：(21x)2=100+(9x)2－2×10×9x×cos120°，

整理，得36x2―9x―10=0，

解得或（舍）。

∴海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时。

故选：B.

7. 答案：；

如图所示：

，，，

在中，根据正弦定理。

8. 答案：.

解析：

在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=75°－30°=45°，

根据正弦定理知，，

即，

所以，故应填.

9. 答案：；

解析

过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，

则Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝46m

∴．

又∵Rt△ABD中，∠ABD＝67°，可得

∴BC＝CD－BD＝79.58－19.5＝60.08≈60m

故答案为：60m

10.解析：设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC=(100-50x)海里，BD=30x海里()， ∠CBD=60°，由余弦定理得：

∴当(小时)时，CD2最小，从而得CD最小

∴航行小时，两船之间距离最近．

11．解析：　如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1千米．

在△ABC中，AB＝≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，

由正弦定理sin∠ACB＝·AB＝，

∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，

∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1，

在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，

∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1.

∵×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．

答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．

12. 解析：如图所示，A、C分别表示辑私艇，走私船的位置，设经x小时后在B处追上．

则AB=14x，BC=10x，∠ACB=120°

由得x=2.

故AB=28，BC=20

即所需时间2小时，为.

13.

解析：在△ABD中，∠ADB=180°-110°-40°=30°，

由正弦定理得.

在Rt△ACD中，CD=ADtan25°≈480(m).

答：山高约为480m.

14、解析：在中， ，

根据余弦定理，

 根据正弦定理, ，

有，

∵  ∴

所以 ，

答:此船应该沿北偏东的方向航行,需要航行

15. 解析：设∠POB=，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：

PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos=5-4cos

∴ｙ=Ｓ△OPC+Ｓ△PCD=+(5-4cos)

=2sin(-)+

∴当-=即=时，ｙmax=2+.

16. 解析：（1）在Rt△ABC中，AB=2，，∴∠C=30°

在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2－2BC·PC·cos30°=BP2，即

化简，得PC2－6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去）

在△PBC中，由正弦定理得，即

∴。

（2）Rt△ABC中，BA=2，，

设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，AM=4－t

在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2－2BC·PC·cos30°=BP2，

即，化简得PC2－6PC+5=0

解得PC=1或PC=5（舍去）

①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；

②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t

在△AMQ中，由余弦定理得，MQ2=(4―t)2+(2t)2―2×2t(4－t)×cos60°=7t2－16t+16

令MQ＞3即MQ2＞9，得7t2－16t+7＞0，解得或

∴

综上，当时，甲、乙间的距离大于3米。

又，故两人不能通话的时间大约为0.6小时