专题15.10 整数指数幂（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题15.10  整数指数幂（知识讲解）

 【学习目标】

1．掌握的负指数幂的运算；

2．掌握零指数幂的意义和运算；

2．掌握分式的幂的运算。

【要点整理】

⑴、（是正整数）

⑵、（是正整数）

⑶、（是正整数）

⑷、（，是正整数，）

⑸、（是正整数）

⑹、（，n是正整数）

【典型例题】

类型一、计算单项式除以单项式 

1、计算：

（1）；                （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先根据积乘方化简，再按照单项式乘以单项式，单项式除以单项式的法则，化简求值即可；

（2）根据多项式乘以多项式法则求出即可．

解：（1）

；

（2）

．

【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以单项式，单项式除以单项式的法则，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．

举一反三：

【变式】计算：

（1）7m（4m2p）2÷7m2；              （2）（15x2y－10xy2）÷5xy．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘法，最后算除法；

（2）按照多项式除以单项式的法则计算即可．

解：（1）；

（2）．

【点拨】本题考查了整式的运算，涉及积的乘方，单项式与单项式的乘除以及多项式除以单项式，掌握运算法则是关键．

类型二、用科学记数法表表示数的除法

2、计算

（1）；                          （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用同底数幂的乘法计算即可．

（2）先计算幂的乘方，再按照同底数幂的除法计算即可．

解：（1）

；

（2）

．

【点拨】本题考查同底数幂的乘、除法，幂的乘方计算．掌握相关计算法则是解答本题的关键．

举一反三：

【变式】地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）

【答案】7.1×10-7

【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．

解：∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，
∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．
故答案是：7.1×10-7．

【点拨】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键．

类型三、零指数幂

3、计算的结果是________

【答案】10

【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．

解：原式=9+1=10．
故答案为：10．

【点拨】本题考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．

举一反三：

【变式】已知（x﹣1）x+2＝1，则整数x＝__________

【答案】2、0、﹣2

【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则计算得出答案．

解：∵（x﹣1）x+2＝1，

∴x+2＝0且x﹣1≠0或x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1且x+2为偶数，

解得：x＝﹣2、x＝2或x＝0，

故x＝﹣2或2或0．

故答案为：2、0、﹣2．

【点拨】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题关键．

类型四、负整数指数幂

4、计算：______．

【答案】

【分析】根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂的性质计算，即可得到答案．

解：

故答案为：．

【点拨】本题考查了零指数幂、绝对值、负整数指数幂的知识，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的性质，从而完成求解．

举一反三：

【变式】，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的排列是____（用＜号连接）

【答案】

【分析】根据负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方分别计算，再比较大小即可．

解：，

故答案为：．

【点拨】本题考查了负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方，掌握负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方是解题的关键．

类型五、分数指数幂

5、计算：_______．

【答案】

【分析】根据幂的意义解答即可．

解：∵；

故答案为：2.

【点拨】本题主要考查了分数指数幂，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．

举一反三：

【变式1】计算：______．

【答案】-1

【分析】直接进行二次根式和分数指数幂计算即可得到答案．

解：．

故答案为：-1．

【点拨】此题主要考查了二次根式和分数指数幂的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．

【变式2】方程的整数解的个数是_____．

【答案】4

【分析】方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为-1，指数为偶数．

解：（1）当x+2020=0，x2＋x－1≠0时，解得x=﹣2020；

（2）当x2＋x－1=1时，解得x=﹣2或1．

（3）当x2＋x－1=﹣1，x+2020为偶数时，解得x=0

因而原方程所有整数解是﹣2020，-2，1，0共4个．

故答案为：4．

【点拨】本题考查了：a0=1（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1．容易遗漏第3种可能情况，需特别注意．

类型六、整数指数幂的运算

6、计算：（）﹣2÷（π﹣3.14）0+42018×（﹣0.25）2017

【答案】0

【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和积的乘方运算法则分别计算得出答案．

解：（）﹣2÷（π﹣3.14）0+42018×（﹣0.25）2017

＝4+[4×（﹣0.25）]2017×4

＝4﹣4

＝0．

【点拨】此题主要考查了积的乘方运算、负指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．

举一反三：

【变式1】计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1

【答案】3.

【分析】直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．

解：原式=2+1+3-3

=3．

【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

【变式2】计算：.

【答案】-2.

【分析】按顺序先分别进行零指数幂运算、绝对值化简、二次根式化简、负指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得.

解：原式=1﹣（2﹣1）+2﹣4，

=1﹣2+1+2﹣4，

=﹣2．

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算．

类型七、科学记数法表示绝对值小于1的数

7、生活在海洋中的蓝鯨，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（      ）

A．1.5×吨 B．1.5×吨 C．15×吨 D．1.5×吨

【答案】A

【分析】解答时，分两步走，把150写成1.5×吨；把1万亿写成，

根据题意，列式计算即可．

解：∵150＝1.5×吨；1万亿＝，

∴它体重的万亿分之一为＝＝1.5×（吨），

故选A．

【点拨】本题考查了科学记数法的综合计算，同底数幂的除法，熟练掌握科学记数法和同底数幂的除法法则是解题的关键．

举一反三：

【变式1】某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ）

A．-5 B．-6 C．-7 D．-8

【答案】C

解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7

∴n=-7

故选：C

【变式2】数学就在我们身边，如神奇的天然建筑物—蜜蜂的巢房，它的截面呈正六边形，既节约空间又很坚固，巢房壁的厚度仅为米．数字用科学记数法表示为______．

【答案】

【分析】利用科学计数法的法则转换即可．

解： ，

故答案为：

【点拨】此题考查科学计数法的表示方法： ，当m<1时，n<0；当m>1时，n>0．

类型八、还原科学记数法表示小于1的数

8、用科学记数法表示的数 ，其原数为________．

【答案】0.000 2

【分析】通过科学记数法换算成原数，正负符号不变，乘以几次幂就将小数点后移几位，不足的补0．

解：=0.0002.

故答案为：0.0002.

【点拨】此题考查的是将用科学记数法表示的数改为原数的原理，即科学记数法的逆推．

举一反三：

【变式】把－4.32×10－5用小数表示为__________．

【答案】－0.0000432

【分析】把-4.32的小数点向右移动5位，即可得到．

解：－4.32×10－5=-0.0000432.

故答案为-0.0000432.

【点拨】本题主要考查了用科学记数法表示的数化成一般的数的方法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向右移几位．