专题22.1 二次函数概念（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题22.1  二次函数概念（知识讲解）

【学习目标】

1、理解二次函数的概念；

2、能用待定系数法确定二次函数的解析式；

3、根据二次函数概念求参数。

【要点梳理】

1.二次函数的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.

若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.特别说明：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0      时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

2.二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.

特别说明：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

【典型例题】

类型一、列二次函数解析式

1． 如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．

【答案】S＝- x2＋30x（0＜x＜30）

【分析】由铁丝的长是60cm，一边长xcm，可知另一边长是（30-x）cm，然后根据长方形的面积公式即可求出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．

解：∵铁丝的长是60cm，一边长xcm，

∴另一边长是（30-x）cm，

∴S=x（30-x）＝- x2＋30x（0＜x＜30）.

【点拨】本题考查了列二次函数解析式，解决本题的关键得到所求矩形的等量关系，易错点是得到另一边的长度；注意求自变量的取值应从线段的长为正数入手考虑．

举一反三：

【变式1】 王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:．若这种产品每天的销售利润为(元).求与之间的函数关系式．

【答案】

【分析】利用单价利润总销售量=总利润.

解：.

.

【变式2】为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2  ， 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

【答案】y=﹣x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25． 

【详解】试题分析：由矩形的性质结合BC的长度可得出AB的长度，再根据矩形的面积公式即可找出y与x之间的函数关系式.

 解 ：∵四边形ABCD为矩形，BC=x
∴AB=．
根据题意得：，因为墙长25米，所以．

类型二、二次函数的判断

2．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）．

（1）若这个函数是一次函数，求k的值；

（2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？

【答案】（1）k＝1；（2）k≠0且k≠1

【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；（2）由二次函数的定义求解可得．

解：（1）若这个函数是一次函数，

则k2﹣k＝0且k≠0，

解得k＝1；

（2）若这个函数是二次函数，

则k2﹣k≠0，

解得k≠0且k≠1．

【点拨】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：

（1）y是x的一次函数；

（2）y是x的二次函数．

【答案】(1)m=1;(2) m≠1和m≠0

【分析】根据一次函和二次函数的定义可以解答．

解：（1）y是x的一次函数，则可以知道，m2﹣m＝0，解之得：m＝1，或m＝0，又因为m≠0，所以，m＝1．

（2）y是x的二次函数，只须m2﹣m≠0，

∴m≠1和m≠0．

【点拨】考查了一元二次方程的定义，熟记概念是解答本题的关键．

【变式2】 （1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围；

（2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值．

【答案】（1）m≠0且m≠1；（2）m的值为3．

【分析】

（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；

（2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可．

解：（1）函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函数，

即m2﹣m≠0，

即m≠0且m≠1，

∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数；

（2）由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m2+m≠0，

解得：m1=3，m2=﹣1（不合题意舍去），

所以m的值为3．

【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键．

类型三、根据二次函数定义求参数

3、 观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有___________________．（只填序号）

【答案】①②③④

【分析】根据二次函数的定义可得答案．

解：这六个式子中，二次函数有：①y=6x2；②y=-3x2+5；③y=200x2+400x+200；④．
故答案为：①②③④．

【点拨】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 给出下列函数：①；②；③；④.其中是二次函数的有______，若把它写成的形式，则______，______，______.

【答案】④        1    0   

【分析】

根据二次函数的概念：逐一进行判断即可.①②③都不满足二次函数的形式，④是二次函数

解：①不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；

②，是一次函数，也不满足要求；

③不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；

④是二次函数

所以二次函数只有④

其中

故答案为 ④          1     0

【点拨】本题主要考查二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键.

【变式2】 下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是______(其中x、t为自变量).

【答案】①④

【分析】一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．根据二次函数的定义条件判定则可．

解：①y＝－x2，二次项系数为－1，是二次函数；
②y＝2x，是一次函数；
③y＝22＋x2－x3，含自变量的三次方，不是二次函数；
④m＝3－t－t2，是二次函数.

故填①④．

【点拨】本题考查二次函数的定义．
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
判断一个函数是二次函数需要注意三点：
(1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式；
(2)自变量的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a是否为0．

【变式3】 二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___

【答案】    -2x ,    1   

    【分析】函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

解：∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项

∴ 中，二次项系数为，一次项是-2x，常数项是1.

故答案是：; -2x;1.

【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．