数学人教版新课标A1.6微积分基本定理教案设计

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教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的
含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
教学难点：了解微积分基本定理的含义
一. 问题再现：
1、复习：导数的定义及运算法则；定积分的概念及用定义计算
2、利用定积分的定义计算
二. 自学导引：
1、自学教材 51—53页,回答下面的问题：微积分基本定理
一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么_______________,
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_______________，为了方便起见，还常用
表示________，即
注意：1、在定理中：若，那么_________，所以求定积分
的关键是找到满足的任意一个函数即可；2、无论是或，此公式
都成立。3、微积分基本定理的简单证明过程，了解即可。
证明：因为=与都是的原函数，故-=C（），其中C
为某一常数。令得-=C，且==0即有C=，故
=+即=-= 令，有
2、看53-54页的例2回答下面的问题：定积分的取值：
定积分的取值可能取________，也可能取_______，还可能是__________
（1）当对应的曲边梯形位于_________，定积分的值取________，且等于____________
（2）当对应的曲边梯形位于_________，定积分的值取________，且等于____________
（3）当位于轴_____________等于位于轴____________，定积分的值为__________ ，
且等于位于轴_____________减去位于 x 轴__________________．
三. 交流展示：比较用定积分定义计算定积分与用微积分基本基本定理求定积分的优越性：
四. 典型例题：
例1．计算下列定积分：（1）；（2）；
例2．计算下列定积分：（1） ；（2）
点拨提升：本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱
布尼兹公式成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简
便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求对前面导数的知识非常熟练.
1.7定积分的简单应用
学习目标：1.进一步深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2.深刻
理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见
题型及方法；4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
学习重点：曲边梯形面积的求法 学习难点：定积分求面积以及在物理中应用
一. 问题再现：
1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？
二. 自学导引：（一）.自学教材56—57页,思考并解决下列问题：
1.当有时,由直线和曲线围成的
曲边梯形的面积S=?当时，曲边梯形的面积会有什么变化？
2.当有时,由直线和曲线，
围成的曲边梯形的面积S=
3.总结求曲边梯形面积的方法与步骤
（二）.自学教材58—59页,思考并解决下列问题：
1.变速直线运动的路程公式——做变速直线运动的物体所经过的路程S等于其速度函数
v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分，即
2.变力作功公式——物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方
向从x=a移动到x=b(a三. 交流展示： 四. 典型例题：
例1.求正弦曲线和直线及轴所围成的平面图形的面积。
思路导引：先画出图形，当时，曲线位于轴的上方，而当时，
曲线位于轴的下方，因此所求的面积应为两部分面积的和，要注意如果在区间上
，那么，这时曲边梯形的面积
例2.一点在直线上从时刻开始以速度运动，求：（1）在
的位置（2）在运动的路程
思路导引：因为位置决定于位移，所以它是在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值
之和，因此需判断在[0,4]上，哪些时间段的位移为负。本题是用定积分解决变速运动的位
置与路程问题，将物理问题转化为数学问题是关键
点拨求曲边梯形面积的方法与步骤：
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定
积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。