2022年高考数学一轮复习《导数与函数的单调性》精选卷（含详解）

2022年高考数学一轮复习

《导数与函数的单调性》精选卷

一、选择题

1.已知f(x)=1+x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是(　 　)

A.f(2)>f(3)>f(π)                  B.f(3)>f(2)>f(π)

C.f(2)>f(π)>f(3)                  D.f(π)>f(3)>f(2)

2.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为(　 　)

A.(0,1)        B.(0,+∞)        C.(1,+∞)              D.(-∞,0)∪(1,+∞)

3.若函数f(x)=kx-ln x在区间(2,+∞)上单调递增,则k的取值范围是(　  　)

A.(-∞,-2]                  B.[,+∞)     C.[2,+∞)                   D.(-∞,)

4.定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)<x＋1的x的集合为(　　)

A.{x|－1<x<1}      B.{x|x<1}   C.{x|x<－1或x>1}    D.{x|x>1}

5.已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)<0，若a<b，则一定有(　　)

A.af(a)<bf(b)        B.af(b)<bf(a)

C.af(a)>bf(b)        D.af(b)>bf(a)

6.下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A.f(x)=sin 2x　   B.f(x)=xex      C.f(x)=x3－x    D.f(x)=－x＋ln x

7.函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y=ax2＋bx＋的单调递增区间是(　　)

A.(－∞，－2]     B.[,+∞)   C.[－2,3]    D.[,+∞)

8.已知函数f(x)=x3－ax在(－1，1)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)

A.(1，＋∞)    B.[3，＋∞)   C.(－∞，1]    D.(－∞，3]

9.函数y=x2－ln x的单调递减区间为(　　)

A.(－1,1)        B.(0,1]        C.(1，＋∞)        D.(0,2)

10.已知a≥0，函数f(x)=(x2－2ax)ex.若f(x)在[－1,1]上单调递减，则a的取值范围是(　　)

A.　      B.       C.      D.

11.已知函数f(x)=x2－tcosx，若其导函数f′(x)在R上单调递增，则实数t的取值范围为(　 　)

A.[-1,-]        B.[-,-]     C.[－1,1]        D.[－1,]

12.设函数f(x)=x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　 　)

A.(1,2]        B.[4，＋∞)       C.(－∞，2]       D.(0,3]

二、填空题

13.已知函数f(x)=(-x2+2x)ex(x∈R,e为自然对数的底数),则函数f(x)单调递增区间为　　. 

14.已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)=－3，且对任意的x∈R总有f ′(x)＜3，

则不等式f(x)＜3x－15的解集为________.

15.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是　　　　. 

16.设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　. 

三、解答题

17.已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f′().

(1)求a的值;

(2)求函数f(x)的单调区间.

18.已知函数f(x)=ln x－.

(1)求证：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；

(2)若f[x(3x－2)]＜－，求实数x的取值范围.

19.设函数f(x)=ax2－a－ln x，其中a∈R，讨论f(x)的单调性.

20.设函数f(x)=x2ex.

(1)求在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)求函数f(x)的单调区间;

(3)当x∈[-2,2]时,求使得不等式f(x)≤2a+1能成立的实数a的取值范围.

21.已知函数f(x)=ex－ax(a∈R，e为自然对数的底数).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a=1，函数g(x)=(x－m)f(x)－ex＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围.

22.已知函数f(x)=ln x－a2x2＋ax(a∈R).

(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.

23.已知函数f(x)=xln x.

(1)若函数g(x)=f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；

(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值.

0.答案解析

1.答案为：D.

解析:因为f(x)=1+x-sin x,所以f′(x)=1-cos x,

当x∈(0,π]时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,π]上是增函数,

所以f(π)>f(3)>f(2).

2.答案为：A.

解析:函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)<0,解得0<x<1.

所以单调递减区间是(0,1).

3.答案为：B.

解析:f′(x)=k-,因为函数f(x)=kx-ln x在区间(2,+∞)上单调递增,

所以f′(x)≥0在区间(2,+∞)上恒成立.

所以k≥,而y=在区间(2,+∞)上单调递减,

所以k≥,所以k的取值范围是[,+∞).

4.答案为：B；

解析：令g(x)=2f(x)－x－1，∵f′(x)>，∴g′(x)=2f′(x)－1>0，

∴g(x)为单调增函数，∵f(1)=1，∴g(1)=2f(1)－1－1=0，

∴当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<x＋1，故选B.

5.答案为：C；

解析：[x·f(x)]′=x′f(x)＋x·f′(x)=f(x)＋x·f′(x)<0，

∴函数x·f(x)是R上的减函数，∵a<b，∴af(a)>bf(b).

6.答案为：B；

解析：对于A，f(x)=sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)；

对于B，f′(x)=ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，

∴函数f(x)=xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)=3x2－1，

令f′(x)>0，得x>或x<－，

∴函数f(x)=x3－x在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增；

对于D，f′(x)=－1＋=－，令f′(x)>0，得0<x<1，

∴函数f(x)=－x＋ln x在区间(0,1)上单调递增.综上所述，应选B.

7.答案为：D；

解析：由题图可知d=0.不妨取a=1，∵f(x)=x3＋bx2＋cx，∴f′(x)=3x2＋2bx＋c.

由图可知f′(－2)=0，f′(3)=0，∴12－4b＋c=0,27＋6b＋c=0，∴b=－，c=－18.

∴y=x2－x－6，y′=2x－.当x≥时，y′≥0，

∴y=x2－x－6的单调递增区间为[,+∞).故选D.

8.答案为：B；

解析：∵f(x)=x3－ax，∴f′(x)=3x2－a.又f(x)在(－1,1)上单调递减，

∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B.

9.答案为：B；

解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，由y′=x－≤0，得0<x≤1，

所以函数的单调递减区间为(0,1].

10.答案为：C

解析：f ′(x)=(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex=[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意可知，

当x∈[－1,1]时， f ′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立.

令g(x)=x2＋(2－2a)x－2a，则有

即解得a≥.

11.答案为：C.

解析：因为f(x)=x2－tcosx，所以f′(x)=x＋tsinx.令g(x)=f′(x)，

因为f′(x)在R上单调递增，所以g′(x)=1＋tcosx≥0恒成立，

所以tcosx≥－1恒成立，因为cosx∈[－1，1]，

所以所以－1≤t≤1，即实数t的取值范围为[－1,1].

12.答案为：A；

解析：∵f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)=x－，

∴由f′(x)≤0解得0＜x≤3，由题意知解得1＜a≤2.

13.答案为：(-,)

解析:因为f(x)=(-x2+2x)ex,所以f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.

令f′(x)>0,则(-x2+2)ex>0,因为ex>0,所以-x2+2>0,解得-<x<,

所以函数f(x)的单调递增区间为(-,).

14.答案为：(4，＋∞)

解析：令g(x)=f(x)－3x＋15，则g′(x)=f ′(x)－3＜0，所以g(x)在R上是减函数.

又g(4)=f(4)－3×4＋15=0，所以f(x)＜3x－15的解集为(4，＋∞).

15.答案为：(-3,0)∪(0,+∞)

解析:由题意知f′(x)=3ax2+6x-1,由函数f(x)恰好有三个单调区间,得f′(x)有两个不相等的零点,所以3ax2+6x-1=0需满足a≠0,且Δ=36+12a>0,解得a>-3,所以实数a的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).

16.答案为：(1,2]

解析:f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=x-.由f′(x)=x-<0,解得0<x<3.

因为f(x)=x2-9ln x在[a-1,a+1]上单调递减,

所以解得1<a≤2.

17.解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,

得f′(x)=3x2+2ax-1.

所以a=f′()=3×()2+2a×-1,解得a=-1.

(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,

则f′(x)=3x2-2x-1=3(x+)(x-1),

令f′(x)>0,解得x>1或x<-;

令f′(x)<0,解得-<x<1.

所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞);

f(x)的单调递减区间是(-,1).

18.解：(1)证明：由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞).

∵f(x)=ln x－，

∴f′(x)=－=.

∵x＞0，∴4x2＋3x＋1＞0，x(1＋2x)2＞0.

∴当x＞0时，f′(x)＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增.

(2)∵f(x)=ln x－，

∴f(1)=ln 1－=－.

由f[x(3x－2)]＜－得f[x(3x－2)]＜f(1).

由(1)得解得－＜x＜0或＜x＜1.

∴实数x的取值范围为(－,0)∪(,1).

19.解：f(x)的定义域为(0，＋∞)

f′(x)=2ax－=(x＞0).

当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.

当a＞0时，由f′(x)=0，有x= .

此时，当x∈(0,)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(,＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.

综上当a≤0时，f(x)的递减区间为(0，＋∞)，

当a＞0时，f(x)的递增区间为(,＋∞)，递减区间为(0,).

20.解:(1)因为f′(x)=x2ex+2xex,

所以k=f′(1)=3e,切点(1,e).

切线方程为3ex-y-2e=0.

(2)令f′(x)>0,即x(x+2)ex>0,

得f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在区间(-2,0)上单调

递减.

(3)由(2)知,f(x)在区间(-2,0)上单调递减,在区间(0,2)上单调递增,fmin(x)=f(0)=0.

当x∈[-2,2]时,不等式f(x)≤2a+1能成立,

须2a+1≥fmin(x),即2a+1≥0,故a≥-.

故a的取值范围为[-,+∞).

21.解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)=ex－a.

当a≤0时，f′(x)＞0，

∴f(x)在R上为增函数；

当a＞0时，由f′(x)=0得x=lna，

则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0，

∴函数f(x)在(－∞，lna)上为减函数，

当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0，

∴函数f(x)在(lna，＋∞)上为增函数.

(2)当a=1时，g(x)=(x－m)(ex－x)－ex＋x2＋x.

∵g(x)在(2，＋∞)上为增函数，

∴g′(x)=xex－mex＋m＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立，

即m≤在(2，＋∞)上恒成立.

令h(x)=，x∈(2，＋∞)，

则h′(x)==.

令L(x)=ex－x－2，L′(x)=ex－1＞0在(2，＋∞)上恒成立，

即L(x)=ex－x－2在(2，＋∞)上为增函数，即L(x)＞L(2)=e2－4＞0，

∴h′(x)＞0在(2，＋∞)上成立，即h(x)=在(2，＋∞)上为增函数，

∴h(x)＞h(2)=，∴m≤.

∴实数m的取值范围是.

22.解：(1)当a=1时，f(x)=ln x－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，

∴f′(x)=－2x＋1=－.

令f′(x)=0，即－=－=0，

解得x=－或x=1.

∵x>0，∴x=－舍去.

当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.

∴函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，

即单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).

(2)解法一：∵f(x)=ln x－a2x2＋ax，其定义域为(0，＋∞)，

∴f′(x)=－2a2x＋a==.

①当a=0时，f′(x)=>0，

∴f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，不合题意；

②当a>0时，f′(x)<0(x>0)等价于(2ax＋1)(ax－1)>0(x>0)，即x>.

此时f(x)的单调递减区间为(,+∞).

依题意，得解得a≥1；

③当a<0时，f′(x)<0(x>0)等价于(2ax＋1)(ax－1)>0(x>0)，即x>－.

此时f(x)的单调递减区间为(－,+∞)，

∴解得a≤－.

综上所述，实数a的取值范围 (-∞,－]∪[1，＋∞).

解法二：∵f(x)=ln x－a2x2＋ax，x∈(0，＋∞)，

∴f′(x)=.

由f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，

可得g(x)=－2a2x2＋ax＋1≤0在区间(1，＋∞)上恒成立.

①当a=0时，1≤0不合题意；

②当a≠0时，可得即

∴∴a≥1或a≤－.

∴实数a的取值范围是(-∞,－]∪[1，＋∞).

23.解：(1)由题意得g′(x)=f ′(x)＋a=ln x＋a＋1.

∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，

∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，

即ln x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立.

∴a≥－ln x－1.

令h(x)=－ln x－1，∴a≥h(x)max，

当x∈[e2，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)，

∴h(x)∈(－∞，－3]，∴a≥－3，即a的取值范围是[－3，＋∞).

(2)∵f(x)≥，∴2f(x)≥－x2＋mx－3，即mx≤2xln x＋x2＋3.

又x＞0，∴m≤在∈(0，＋∞)上恒成立.

记t(x)==2ln x＋x＋，

∴m≤t(x)min.

∵t′(x)=＋1－==，

令t′(x)=0，得x=1或－3(舍).

当x∈(0,1)时，t′(x)＜0，函数t(x)在(0,1)上单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，t′(x)＞0，函数t(x)在(1，＋∞)上单调递增.

∴t(x)min=t(1)=4，即m的最大值为4.