高端精品高中数学一轮专题-抽样方法与频率分布直方图（讲）教案

统计

核心素养立意下的命题导向

1.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，凸显数据分析的核心素养．

2．借助频率分布表画频率分布直方图、频率折线图，提升读图、数据分析的能力，凸显直观想象、数据分析的核心素养．

3．能从样本数据中提取样本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释，凸显数学运算的核心素养．

4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，凸显数学建模的核心素养．

[理清主干知识]

1．简单随机抽样

(1)抽取方式：逐个不放回地抽取．

(2)特点：每个个体被抽到的概率相等．

(3)常用方法：抽签法和随机数法．

2．分层抽样

(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

3．作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；

(2)决定组距与组数；

(3)将数据分组；

(4)列频率分布表；

(5)画频率分布直方图．

4．频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

5．样本的数字特征

(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．

(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．

(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是

s＝ ，

s2＝.

考点一　抽样方法

[典题例析]　

(1)某公司决定利用随机数表对今年新招聘的800名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程度，先将这800名员工进行编号，编号分别为001,002，…，799,800，从中抽取80名进行调查，下面提供随机数表的第4行到第6行：

32 21 18 34 29　78 64 54 07 32　52 42 06 44 38　12 23 43 56 77　35 78 90 56 42

84 42 12 53 31　34 57 86 07 36　25 30 07 32 86　23 45 78 89 07　23 68 96 08 04

32 56 78 08 43　67 89 53 55 77　34 89 94 83 75　22 53 55 78 32　43 77 89 23 45

若从表中第5行第6列开始向右依次读取3个数据，则抽到的第5名员工的编号是(　　)

A．007　　　　　　　　　 B．253

C．328  D．736

(2)某市小学，初中，高中在校学生人数分别为7.5万，4.5万，3万．为了调查全市中小学生的体质健康状况，拟随机抽取1000人进行体质健康检测，则应抽取的初中生人数为(　　)

A．750  B．500

C．450  D．300

[方法技巧]

1．应用随机数法的两个关键点

(1)确定以表中的哪个数(哪行哪列)为起点，以哪个方向为读数的方向；

(2)读数时注意结合编号特点进行读取．若编号为两位数字，则两位两位地读取；若编号为三位数字，则三位三位地读取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去，这样继续下去，直到获取整个样本．

2．解决分层抽样的常用公式

先确定抽样比，然后把各层个体数乘以抽样比，即得各层要抽取的个体数．

(1)抽样比＝＝；

(2)层1的容量∶层2的容量∶层3的容量＝样本中层1的容量∶样本中层2的容量∶样本中层3的容量．　　

[针对训练]

1．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　 B．

C.   D．

2.随着时代的发展，移动通信技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来．为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包括老、中、青三个年龄段的1 500人中采取分层抽样的方法抽取50人进行调查，已知这50人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为(　　)

A．490  B．390

C．1 110  D．410

考点二　统计图表及应用

考法(一)　折线图与扇形图

[例1]　(1)(多选)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中正确的是(　　)

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．

A．互联网行业从业人员中90后占一半以上

B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

(2)(多选)空气质量指数AQI是反映空气状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：

下图是某市10月1日～20日AQI指数变化趋势，则下列叙述正确的是(　　)

A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100

B．这20天中的中度污染及以上的天数占

C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好

D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的好

考法(二)　频率分布直方图

[例2]　我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．

[方法技巧]

1．由频率分布直方图进行相关计算需掌握的2个关系式

(1)×组距＝频率．

(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．

2．利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法

(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．

(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．

(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．　　

[针对训练]

1．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(　　)

A．240,18　　　　　　　 B．200,20

C．240,20  D．200,18

2．港珠澳大桥于2018年10月2日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h，现对大桥某路段上1 000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图(如图)，根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过90 km/h的频率分别为(　　)

A．300,0.25  B．300,0.35

C．60,0.25  D．60,0.35

3．(多选)某院校教师情况如下表所示：

关于2018年、2019年、2020年这3年该院校的教师情况，下面说法正确的是(　　)

A．2019年男教师最多

B．该校教师最多的是2020年

C．2019年中年男教师比2018年多80人

D．2018年到2020年，该校青年年龄段的男教师人数增长率为220%

考点三　用样本的数字特征估计总体的数字特征

[典例]　某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

[方法技巧]

利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据

(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．

(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．　　

[针对训练]

　某大学艺术专业的400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据按[20,30)，[30,40)，…，[80,90]分成7组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计总体的众数；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；

(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女学生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

创新思维角度——融会贯通学妙法

巧解平均数和方差

类型(一)　找齐法

在计算平均数时，如果这些数字都在某个数字左右摆动，就选取一个数字作为标准进行找齐．

[例1]　计算数据87,86,90,82,83,85,88,80,79,90的平均数和方差．

[名师微点]

找齐法的依据是平均数＝＝

＝a＋；

方差s2＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝×{[(x1－a)－(－a)]2＋[(x2－a)－(－a)]2＋…＋[(xn－a)－(－a)]2}，其中a为选取作为标准的数字，在使用找齐法时a的选取可以多种多样，原则是便于计算．　　

类型(二)　方差的简化公式法

方差的一个简化公式是s2＝[(x＋x＋…＋x)－n()2]＝－()2(其中＝(x＋x＋…＋x))，只要把方差公式展开进行重组即可证明．

[例2]　计算数据54,55,53,56,57,58的方差．

[例3]　设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1,10x2，…，10xn的方差为(　　)

A．0.01　　　　　　　　　 B．0.1

C．1  D．10

[例4]　2020年初新冠肺炎疫情袭击全国，口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x，x，x，x，x的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩________十万只．