数学必修33.3.1几何概型教案设计

几何概型教案

教学目标：

1.了解几何概型的定义

2.会求简单的几何概型的概率问题

3.会用比较类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力

教学重点

关于几何概型的概率计算教学难点：

准确确定几何区域D和与事件A对应的区域d，并求出它们的测度。

教学过程：

一、创设情景，引入新课

玩一个转盘游戏

提问：在转盘游戏中，当指针停止时，为什么指针

指向代号为B的区域的可能性大？

（因为代号为B的区域的面积大，

所以指针落在代号为B的区域可能性大。）

二、学生活动（分组讨论）问题1．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？

问题2．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛

靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运

动员在70m外射。假设射箭都能中靶，且射中

靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的

概率有多大？

分析1:在问题1中,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.

如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段落的长度等于绳子长的,于是事件A发生的概率P(A)=

分析2:在问题2中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.

如图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为的大圆内,而当中靶点落在面积为的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率为P(B)=

归纳:在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在着,但是显然不能用古典概型的方法求解.那怎样处理呢?

三、数学建构

几何概型定义1.从上面的分析和解题可知,对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.

古典概型的本质特征：

1、样本空间中样本点个数有限，

2、每一个样本点都是等可能发生的。将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。

几何概型的本质特征：

1、有一个可度量的几何图形S

2、试验E看成在S中随机地投掷一点

3、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 

2、几何概型的计算一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率为:指出:D的测度不能为0,其中“测度”的意义依D确定.当D分别为线段,平面图形,立体图形时,相应的“测度”分别为长度,面积,体积等.

四、数学应用

例1、一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。

略解：S=，A=[2，3]，L(S)=5-0=5,L(A)=3-2=1

例2.取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.

分析:由于是随机丢豆子,故可认为豆子落入正方形内任意一点都是机会均等的,于是豆子落入圆上的概率应等于圆面积与正方形面积的比.

解:记“豆子落入圆内”为事件A,则

答:豆子落入圆内的概率为

例3.在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?分析:病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的,取得10mL种子可视作区d,所有种子可视作区域D.解:取出10mL种子,其中“含有病种子”这一事件高为A,则

答:含有麦锈病种子的概率为0.01五、回顾反思

本节课我们首先从游戏中提出问题，然后由特殊到一般去分析问题，再解决问题。

我们还学习了几何概型的定义及关于几何概型问题的概率计算公式：一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率为:

几何测度--------指长度、面积或体积

六、作业布置