2013-2014学年高二数学 章末质量评估3活页训练 湘教版选修1-1

章末质量评估(三)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(每小题5分，共50分)

1．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．30°   B．45° 

C．60°   D．120°

解析　设倾斜角为θ，则tan θ＝y′|x＝1，求出曲线在点(1,3)处的切线的斜率即可y′＝3x2－2，y′|x＝1＝3×12－2＝1，

所以曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的斜率为1，即其倾斜角为45°.

答案　B

2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.   B.

C.   D.

解析　∵y′＝′＝＝≥－1，即tan α≥－1，由正切函数图象得α∈，选D.

答案　D

3．函数f(x)＝(0<x<10)  (　　)．

A．在(0,10)上是增函数

B．在(0,10)上是减函数

C．在(0，e)上是增函数，在(e,10)上是减函数

D．在(0，e)上是减函数，在(e,10)上是增函数

解析：由f′(x)＝，令f′(x)>0得：0<x<e；令f′(x)<0得e<x<10，故选C.

答案　C

4．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，

则导函数f′(x)的图象为  (　　)．

答案　D

5．如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能

是  (　　)．

解析　∵f(x)在(－∞，0)上，先增后减，∴其导函数在(－∞，0)上，由正变负；在(0，＋∞)上，f(x)由增变减，

∴f′(x)由正变负，故只有选项A适合．或∵f(x)为偶函数，∴f′(x)为奇函数，首先排除C、D，进而再排除B.

答案　A

6．设f(x)＝x2(2－x)，则f(x)的单调增区间是 (　　)．

A.   B.

C．(－∞，0)   D．(－∞，0)∪

解析　∵f(x)＝2x2－x3，∴f′(x)＝4x－3x2＝x(4－3x)．

令f′(x)>0，即x(4－3x)>0，解得0<x<.

答案　A

7．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是  (　　)．

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－2,1)

C．(1,2)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

答案　A

8．函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 (　　)．

A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)

B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)

C．0<f(3)<f′(2)<f′(3)－f(2)

D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)

解析　f(3)－f(2)＝.

表示过点A(2，f(2))，B(3，f(3))两点连线的斜率，f′(2)、f′(3)分别表示点A、B处的切线斜率．作图易知，只有B符合．

答案　B

9．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围

为  (　　)．

A．a≥3      B．a＝3     C．a≤3      D．0<a<3

解析　∵f′(x)＝3x2－2ax，又f(x)在(0,2)内是减函数，∴f′(x)≤0在x∈(0,2)上恒成立，即3x2－2ax≤0，x(3x－2a)≤0恒成立，∵x∈(0,2)，∴a≥x.在(0,2)上恒成立，∴a≥×2＝3.

答案　A

10．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是                            (　　)．

A．m<2或m－4   B．－4<m<－2

C．2<m<4   D．2≤m≤4

答案　D

二、填空题(每小题5分，共25分)

11．曲线f(x)＝ln x与x轴交点处的切线方程为________．

解析　∵f′(x)＝，f(x)＝ln x与x轴的交点为P(1,0)，

∴切线斜率k＝f′(1)＝1.

∴点P处的切线方程为y＝x－1.

答案　y＝x－1

12．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是________．

答案　(0,1]

13．函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，则函数f(x)的单调递增区间为________．

解析　x∈[－1,0]及x∈[2，＋∞)时，f′(x)≥0，从而f(x)的递增区间是[－1,0]和[2，＋∞)．

答案　[－1,0]和[2，＋∞)

14．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1没有极值，则a的取值范围为________．

解析　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵f(x)无极值，

∴f′(x)＝0无实根，又3>0，∴Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)≤0.即a2－a－2≤0，∴－1≤a≤2.

答案　[－1,2]

15．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|＜|x2－x1|恒成立”的有______(填你认为正确的序号)．

①f(x)＝；②f(x)＝|x|；③f(x)＝x2；④f(x)＝x3.

解析　|f(x2)－f(x1)|＜|x2－x1|⇔||＜1，即曲线在区间(1,2)上任意两点连线的斜率在区间(－1,1)内，①中f′(x)＝－.当x∈(1,2)时，f′(x)∈，满足题意；②中在区间(1,2)上f′(x)＝1∉(－1,1)；③中f′(x)＝2x，当x∈(1,2)时，f′(x)∈(2,4)；④中f′(x)＝3x2，当x∈(1,2)时，f′(x)∈(3,12)，故②③④都不符合题意．故填①.

答案　①

三、解答题(共75分)

16．(13分)用导数定义求函数y＝＋2在x＝1处的导数．

解　法一　li ＝li

＝－，所以f′(1)＝－＝－2.

法二　f′(1)＝

＝ ＝ ＝－2.

17．(13分)当0＜x＜时，求证：x－sin x＜x3.

证明　设g(x)＝x－sin x－x3，x∈，

g′(x)＝1－cos x－x2＝2.

∵x∈，∴0＜sin x＜x，又∵∈，

∴sin2＜2，∴g′(x)＜0，∴g(x)在上单调递减，∴g(x)＜g(0)＝0，∴x－sin x＜x3.

18．(13分)设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2.

(1)若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0,2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．

解　(1)f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.

经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．

(2)由题设g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax2(x＋3)－3x(x＋2)，

当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时，g(0)≥g(2)，即0≥20a－24，得a≤.反之，当a≤时，对任意x∈[0,2]

g(x)≤x2(x＋3)－3x(x＋2)＝(2x2＋x－10)

＝(2x＋5)(x－2)≤0，

而g(0)＝0，故g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)

综上，a的取值范围为.

19．(12分)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.

(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.

令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，

f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．

(2)证明　设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R

由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.

于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．

于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．

而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.

即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.

20．(12分)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)

解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则

f(x)＝560＋48x＋

＝560＋48x＋(x≥10，x∈N)，

f′(x)＝48－，

令f′(x)＝0得x＝15，当x＞15时，f′(x)＞0；

当10≤x＜15时，f′(x)＜0，

因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000.

所以，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．

21．(12分)设函数f(x)＝ax＋2，g(x)＝a2x2－ln x＋2，其中a∈R，x>0.

(1)若a＝2，求曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；

(2)是否存在负数a，使f(x)≤g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

解　(1)由题意可知：当a＝2时，g(x)＝4x2－ln x＋2，

则g′(x)＝8x－.曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线斜率k＝g′(1)＝7，又g(1)＝6，

故曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y－6＝7(x－1)，即y＝7x－1.

(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)＝ax＋ln x－a2x2(x>0)．

假设存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立，

即：当x>0时，h(x)的最大值小于等于零．

h′(x)＝a＋－2a2x＝(x>0)，

令h′(x)＝0可得：x1＝－，x2＝(舍)．

当0<x<－时，h′(x)>0，h(x)单调递增；

当x>－时，h′(x)<0，h(x)单调递减，

所以h(x)在x＝－处有极大值，也是最大值．

∴h(x)max＝h≤0，解得：

所以负数a存在，它的取值范围为