高中数学：2.6《正态分布》（二） 教案 （北师大选修2-3）

2.6.正态分布

教学目标

（1）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态分布；

（2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；

（3）会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量在某一个范围内的概率．

重点，难点

（1） 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；

（2） 求满足标准正态分布的随机变量在某一个范围内的概率．

教学过程

一．问题情境

1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；

   回顾曲边梯形的面积的意义．

2．从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：）：

164       175  170  163  168  161  177  173  165  181  155  178

164        161  174  177  175  168  170  169  174  164  176  181

181       167  178  168  169  159  174  167  171  176  172  174

163        180  154  173  170  171  174  172  171  185  164  172

164        167  168  170  174  172  169  182  167  165  172  171

185        157  174  164  168  173  166  172  161  178  162  172

179        161  160  175  169  169  175  161  155  156  182  182

上述数据的分布有怎样的特点？

二．学生活动

为了研究身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图．

第一步  对数据分组（取组距）；

第二步  列出频数（或频率）分布表；

第三步  作出频率分布直方图，如图 

 2-6-2．

由图2-6-2可以看出，上述数据的分

布呈“中间高，两边底，左、右大致

对称”的特点．

可以设想，若数据无限增多且组距

无限缩小，那么频率直方图的顶边

无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，

我们将此曲线称为概率密度曲线．

再观察此概率密度曲线的特征．

三．建构数学

1． 正态密度曲线：函数的图象为正态密度曲线，其中和为参数（ ，）．不同的和对应着不同的正态密度曲线．

2．正态密度曲线图象的性质特征：

   （1）当时，曲线上升；当时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以轴为渐进线；

   （2）正态曲线关于直线对称；

   （3）越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡；

   （4）在正态曲线下方和轴上方范围内的区域面积为1．

3．正态分布：

若是一个随机变量，对任给区间恰好是正态密度曲线下方和轴上上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量服从参数为和的正态分布，简记为．

4． 正态总体在三个特殊区间内取得的概率值：

具体地，如图所示，随机变量取值

   （1）落在区间上的概率约为

，即；

   （2）落在区间上的概率约为，即

；

   （3）落在区间上的概率约为，即

．

5． 原则： 服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称为原则．

6．标准正态分布：

事实上，就是随机变量的均值，就是随机变量的方差，它们分别反映 取值的平均大小和稳定程度．我们将正态分布称为标准正态分布．通过查标准正态分布表（见附表1）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．

7．非标准正态分布转化为标准正态分布：

非标准正态分布可通过转化为标准正态分布．

四．数学运用

1．例题：

例1．一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式．

解：由题意得，

    ，即，．

所以的概率密度函数为．

例2．若随机变量，查标准正态分布表，求：

   （1）；

   （2）；

   （3）；

   （4）．

解：（1）．

   （2）．

   （3）；

   （4）

．

例3．在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即．试求考试成绩位于区间上的概率是多少？

解： 法一（将非标准正态分布转化为标准正态分布）：

    ．

法二（原则）：因为，所以．

由于正态变量在区间内取值的概率是，而该正态分布

，，

所以考试成绩位于区间上的概率就是．