高中数学湘教版必修23.3三角函数的图像与性质教案

课    题：1．4 三角函数的图象与性质（2）

教学目的：

1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；

2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；

3掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法

教学重点：正、余弦函数的性质

教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1． 正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

，

向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

   2．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]、余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：

把y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

   3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0)  (,1)  (,0)  (,-1)  (2,0)

（1）y=cosx,  xR与函数y=sin(x+)  xR的图象相同

（2）将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象

（3）也同样可用五点法作图：y=cosx   x[0,2]的五个点关键是

(0,1)  (,0)  (,-1)  (,0)  (2,1)

4．用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式

二、讲解新课：  

 (1)定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，

分别记作：

y＝sinx，x∈R

y＝cosx，x∈R

(2)值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即

－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］

其中正弦函数y=sinx,x∈R

①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1

而余弦函数y＝cosx，x∈R

①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1

(3)周期性

由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx  (k∈Z)知：

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期

注意：

1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

3T往往是多值的（如y=sinx   2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π

(4)奇偶性

由sin(－x)＝－sinx

cos(－x)＝cosx

可知：y＝sinx为奇函数

y＝cosx为偶函数

∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

(5)单调性

从y＝sinx， x∈［－］的图象上可看出：

当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1

当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

三、讲解范例：

例1 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么

(1)y＝cosx＋1，x∈R；

(2)y＝sin2x，x∈R

解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝

函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2

(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝

由2x＝Z＝＋2kπ，

得x＝＋kπ

即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝

函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1

例2求下列函数的定义域：

(1)y＝1+    (2)y＝

解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1

即x≠＋2kπ(k∈Z)

∴原函数的定义域为｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝

(2)由cosx≥0得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)

∴原函数的定义域为［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)

例3求函数y＝－cosx的单调区间

解：由y＝－cosx的图象可知：

单调增区间为［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)

单调减区间为［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)

例4求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+)  2 y=cos2x  3 y=3sin(+)

解：1 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz   即：f (2+z)=f (z)

f [(x+2)+ ]=f (x+)    ∴周期T=2

2令z=2x  ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]

即：f (x+)=f (x)    ∴周期T=

        3令z=+ 则

f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)=3sin()=f (x+4)

∴周期T=4       

四、课堂练习：

1．求下列函数的周期：

1y=sin(2x+)+2cos(3x-)    2 y=|sinx|   3 y=2sinxcosx+2cos2x-1

解：1 y1=sin(2x+)  最小正周期T1=

      y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=

∴T为T1 ,T2的最小公倍数2  ∴T=2

         2   T= 

         3 y=sin2x+cos2x       ∴T=

2． 直接写出下列函数的定义域、值域：

   1   y=            2 y=

解：1当x2k- kZ时函数有意义，值域:[+∞]

2 x[2k+, 2k+] (kZ)时有意义, 值域[0, ]

3．  求下列函数的最值：

   1 y=sin(3x+)-1    2 y=sin2x-4sinx+5   3 y=

解：1 当3x+=2k+即 x= (kZ)时ymax=0

当3x+=2k-即x= (kZ)时ymin=-2

2 y=(sinx-2)2+1  ∴当x=2k- kZ时ymax=10

当x=2k- kZ时ymin= 2

3 y=-1+ 当x=2k+  kZ时 ymax=2

当x=2k  kZ时 ymin=

4．函数y=ksinx+b的最大值为2,  最小值为-4，求k,b的值

解：当k>0时

当k<0时 （矛盾舍去）  ∴k=3  b=-1

5．求下列函数的定义域：

  1 y= 2 y=lg(2sinx+1)+  3 y=

解：1  ∵3cosx-1-2cos2x≥0    ∴≤cosx≤1

∴定义域为：[2k-, 2k+]  (kZ)

2

∴定义域为：

        3 ∵cos(sinx)≥0  ∴ 2k-≤x≤2k+ (kZ)

          ∵-1≤sinx≤1     ∴xR        ≤y≤1

五、小结  正、余弦函数的性质、以及性质的简单应用，解决一些相关问题

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：