数学湘教版4.4向量的分解与坐标表示巩固练习

4.4　向量的分解与坐标表示

双基达标  (限时20分钟)

1．若向量a＝(x－2，3)与向量b＝(1，y＋2)相等，则            (　　)．

A．x＝1，y＝3　　　　　　B．x＝3，y＝1

C．x＝1，y＝－5          D．x＝5，y＝－1

解析　由已知得，，解得x＝3，y＝1，故选B.

答案　B

2．若向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c等于                  (　　)．

A．－a＋b      B.a－b

C.a－b       D．－a＋b

解析　设c＝xa＋yb，

则(x＋y，x－y)＝(－1，2)，

∴，∴x＝，y＝－，

∴c＝a－b.

答案　B

3．已知＝(3，4)，A(－2，－1)，则B点的坐标是                      (　　)．

A．(5，5)      B．(－5，－5)

C．(1，3)      D．(－5，5)

解析　设B(x，y)，＝(x，y)－(－2，－1)＝(x＋2，y＋1)，

即(x＋2，y＋1)＝(3，4)，

∴∴

∴B点的坐标为(1，3)．

答案　C

4．已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.

解析　∵＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，

＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，

又2＝，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，

∴　解得　∴x＋y＝.

答案　

5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝(1，3)，则等于________．

解析　∵＝＋，∴＝－＝(－1，－1)．

∴＝－＝(－3，－5)．

答案　(－3，－5)．

6．如图，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示.

解　＝＝(b－a)．

＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.

＝＝(a＋b)．

＝＋＝(b－a)－(a＋b)＝－a＋b.

综合提高　限时25分钟

7．给定向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值为        (　　)．

A.     B.     C．1     D．2

解析　∵a＋2b＝(2λ＋1，4)，2a－2b＝(2－2λ，2)，

又∵(a＋2b)∥(2a－2b)，

∴2(2λ＋1)－4(2－2λ)＝0，∴λ＝.

答案　A

8．设a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且c＝pa＋qb，则实数p、q的值为                                                                                                                                                                                           (　　)．

A．p＝4，q＝1             B．p＝1，q＝－4

C．p＝0，q＝1             D．p＝1，q＝4

解析　pa＝p(－1，2)＝(－p，2p)，

qb＝q(1，－1)＝(q，－q)，

(3，－2)＝(q－p，2p－q)，

∴∴

答案　D

9．设a＝(，sin α)，b＝(cos α，)，且a∥b，则锐角α为________．

解析　由题知：×－sin αcos α＝0，∴sin αcos α＝即(sin α－

cos α)2＝1－2sin αcos α＝0，∴sin α＝cos α，tan α＝1，α＝45°.

答案　45°

10．若a，b是不共线的两个向量，且＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则当且仅当________时，A、B、C三点共线．

解析　∵A、B、C共线，∴∥，又≠0，∴存在实数m，使＝m，

∴λ1a＋b＝m(a＋λ2b)＝ma＋mλ2b，

又a，b不共线，∴，消去m得λ1λ2＝1，∴λ1λ2－1＝0.

答案　λ1λ2－1＝0

11．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝.

求证：∥.

证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有：

＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)．

因为＝，所以＝.

因为＝，所以＝.

因为(x1＋1，y1)＝，所以E.

因为(x2－3，y2＋1)＝，所以F.

所以＝.

又因为4×－×(－1)＝0，

所以∥.

12．(创新拓展)已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且＝＋t(t∈R)，求：

(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在二、四象限角平分线上？点P在第二

角限？

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请

说明理由．

解　(1)＝＋t＝(1＋3t，2＋3t)，

若点P在x轴上，只需2＋3t＝0，t＝－；

若点P在二、四象限角平分线上，则

1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－；

若点P在第二象限，则需⇒－＜t＜－.

(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)，若四边形OABP为平行四边形，则＝

.

无解，故四边形OABP不能成为平行四边形．